Задача 79854 Найдите все значения параметра a, при...
Условие
(x^3 + x^2 - 9a^2 * x - 2x + a)/(x^3-9a^2 * x) = 1
имеет ровно один корень.
Решение
Область определения для дроби: знаменатель не равен 0.
x^3 - 9a^2*x ≠ 0
x(x^2 - 9a^2) ≠ 0
x(x - 3a)(x + 3a) ≠ 0
[b]x ≠ 0; x ≠ -3a; x ≠ 3a[/b]
Выделяем целую часть:
[m]\frac{(x^3 - 9a^2 \cdot x) + x^2 - 2x + a}{x^3 - 9a^2 \cdot x} = 1[/m]
[m]1 + \frac{x^2 - 2x + a}{x^3 - 9a^2 \cdot x} = 1[/m]
Вычитаем 1 слева и справа:
[m]\frac{x^2 - 2x + a}{x^3 - 9a^2 \cdot x} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
x^2 - 2x + a = 0
Возможны два варианта:
1) Это уравнение имеет 1 действительный корень
D = (-2)^2 - 4*1*a = 4 - 4a = 4(1 - a) = 0
4(1 - a) = 0
[b]a = 1[/b]
x^2 - 2x + 1 = 0
Решение: x = 1
2) Это уравнение имеет два корня, но один из них равен 0, -3a или 3a,
который не подходит по области определения.
D = 4(1 - a) = (2sqrt(1 - a))^2 > 0
x1 = (2 - 2sqrt(1 - a))/2 = 1 - sqrt(1 - a)
x2 = (2 + 2sqrt(1 - a))/2 = 1 + sqrt(1 - a)
Здесь возможны такие варианты:
а) x1 = 0
1 - sqrt(1 - a) = 0
sqrt(1 - a) = 1
1 - a = 1
[b]a = 0[/b]
x^2 - 2x = 0
Решение: x = 2
б) x2 = 0
1 + sqrt(1 - a) = 0
sqrt(1 - a) = -1
Решений нет, так как корень арифметический, то есть неотрицательный.
в) x1 = -3a
1 - sqrt(1 - a) = -3a
sqrt(1 - a) = 3a + 1
1 - a = (3a + 1)^2 = 9a^2 + 6a + 1
9a^2 + 7a = 0
a(9a + 7) = 0
a1 = 0 - это решение мы уже рассмотрели
[b]a2 = -7/9[/b]
Но тогда 3a + 1 = -7/3 + 1 = -4/3 < 0
А корень sqrt(1 - a) арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому решений нет.
г) x2 = -3a
1 + sqrt(1 - a) = -3a
sqrt(1 - a) = -3a - 1
1 - a = (-3a - 1)^2 = 9a^2 + 6a + 1
9a^2 + 7a = 0
a(9a + 7) = 0
a1 = 0 - это решение мы уже рассмотрели
[b]a2 = -7/9[/b]
Здесь -3a - 1 = 7/3 - 1 = 4/3 > 0, значит, решение есть.
x^2 - 2x - 7/9 = 0
9x^2 - 18x - 7 = 0
D/4 = (-9)^2 - 9(-7) = 81 + 63 = 144 = 12^2
x1 = (9 - 12)/9 = -3/9 = -1/3
x2 = (9 + 12)/9 = 21/9 = 7/3 = -3a - не подходит.
Решение: x = -1/3
д) x1 = 3a
1 - sqrt(1 - a) = 3a
sqrt(1 - a) = 1 - 3a
1 - a = (1 - 3a)^2 = 9a^2 - 6a + 1
9a^2 - 5a = 0
a(9a - 5) = 0
a1 = 0 - это решение мы уже рассмотрели
[b]a2 = 5/9[/b]
Но тогда 1 - 3a = 1 - 5/3 = -2/3 < 0
Решений нет, также, как в п. в)
е) x2 = 3a
1 + sqrt(1 - a) = 3a
sqrt(1 - a) = 3a - 1
1 - a = (3a - 1)^2 = 9a^2 - 6a + 1
9a^2 - 5a = 0
a(9a - 5) = 0
a1 = 0 - это решение мы уже рассмотрели
[b]a2 = 5/9[/b]
Здесь 3a - 1 = 5/3 - 1 = 2/3 > 0, значит, решение есть.
x^2 - 2x + 5/9 = 0
9x^2 - 18x + 5 = 0
D/4 = (-9)^2 - 9*5 = 81 - 45 = 36 = 6^2
x1 = (9 - 6)/9 = 3/9 = 1/3
x2 = (9 + 6)/9 = 15/9 = 5/3 = 3a - не подходит.
Решение: x = 1/3
Ответ: a1 = 0, a2 = 1; a3 = -7/9; a4 = 5/9