Задача 79792 Вычислите площадь фигуры ограниченной...

6809107a4fa25c31d255ee05

4/23/2025 4:12:54 PM

Вычислите площадь фигуры ограниченной заданными линиями y=4-2x-2x^2, x=0

5f282cfba9074b3a3bc0f013

4/23/2025 7:37:36 PM

★

Найдём точки пересечения параболы y = 4 - 2x - 2x² с осью Ox (y = 0):

4 - 2x - 2x² = 0
Разделим на 2:
2 - x - x² = 0
Перепишем:
x² + x - 2 = 0

Решения этого квадратного уравнения:
x = -2 или x = 1.

Поскольку искомая область ограничена также прямой x = 0, берём отрезок по x от 0 до 1 (в этом промежутке функция положительна). Площадь будет равна определённому интегралу:

S = ∫(от 0 до 1) (4 - 2x - 2x²) dx.

Вычислим интеграл:

∫(4 - 2x - 2x²) dx = 4x - x² - (2/3)x³ + C.

Подставляя пределы интегрирования от 0 до 1, получим:

S = [4(1) - 1² - (2/3)(1³)] - [4(0) - 0² - (2/3)(0³)]
= (4 - 1 - 2/3) - 0
= 3 - 2/3
= 7/3.

Таким образом, площадь искомой фигуры равна 7/3.