Задача 79790 Приведённый многочлен пятой степени...
Условие
значение 1
. Найдите остаток от деления этого многочлена на x−2
.
Решение
f(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
Дано: f(1) = f(3) = f(5) = f(7) = f(9) = 1
Составим систему уравнений:
{ 1^5 + a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = 1
{ 3^5 + a*3^4 + b*3^3 + c*3^2 + d*3 + e = 1
{ 5^5 + a*5^4 + b*5^3 + c*5^2 + d*5 + e = 1
{ 7^5 + a*7^4 + b*7^3 + c*7^2 + d*7 + e = 1
{ 9^5 + a*9^4 + b*9^3 + c*9^2 + d*9 + e = 1
Вычисляем:
{ 1 + a + b + c + d + e = 1
{ 243 + 81a + 27b + 9c + 3d + e = 1
{ 3125 + 625a + 125b + 25c + 5d + e = 1
{ 16807 + 2401a + 343b + 49c + 7d + e = 1
{ 59049 + 6561a + 729b + 81c + 9d + e = 1
Приводим подобные:
{ a + b + c + d + e = 0
{ 81a + 27b + 9c + 3d + e = -242
{ 625a + 125b + 25c + 5d + e = -3124
{ 2401a + 343b + 49c + 7d + e = -16806
{ 6561a + 729b + 81c + 9d + e = -59048
Из 1 уравнения выразим e:
e = -a - b - c - d
Подставляем во все остальные уравнения:
{ e = -a - b - c - d
{ 80a + 26b + 8c + 2d = -242
{ 624a + 124b + 24c + 4d = -3124
{ 2400a + 342b + 48c + 6d = -16806
{ 6560a + 728b + 80c + 8d = -59048
Сокращаем 2 уравнение на 2, 3 уравнение на 4,
4 уравнение на 6, и 5 уравнение на 8:
{ e = -a - b - c - d
{ 40a + 13b + 4c + d = -121
{ 156a + 31b + 6c + d = -781
{ 600a + 57b + 8c + d = -2801
{ 820a + 91b + 10c + d = -7381
Из 2 уравнения выразим d:
d = -121 - 40a - 13b - 4c
Подставляем во все остальные уравнения:
{ e = -a - b - c - d
{ d = -121 - 40a - 13b - 4c
{ 116a + 18b + 2c = -660
{ 560a + 44b + 4c = -2680
{ 780a + 78b + 6c = -7260
Сокращаем 3 уравнение на 2, 4 уравнение на 4, а 5 уравнение на 6:
{ e = -a - b - c - d
{ d = -121 - 40a - 13b - 4c
{ 58a + 9b + c = -330
{ 140a + 11b + c = -670
{ 130a + 13b + c = -1210
Из 3 уравнения выразим с:
c = -330 - 58a - 9b
Подставляем в 4 и 5 уравнения:
{ e = -a - b - c - d
{ d = -121 - 40a - 13b - 4c
{ c = -330 - 58a - 9b
{ 82a + 2b = -340
{ 72a + 4b = -880
Сокращаем 4 уравнение на 2, а 5 уравнение на 4:
{ e = -a - b - c - d
{ d = -121 - 40a - 13b - 4c
{ c = -330 - 58a - 9b
{ 41a + b = -170
{ 28a + b = -220
Из 4 уравнения выразим b:
b = -170 - 41a
Подставляем в 5 уравнение:
{ e = -a - b - c - d
{ d = -121 - 40a - 13b - 4c
{ c = -330 - 58a - 9b
{ b = -170 - 41a
{ -13a = -50
Отсюда:
{ a = 50/13
{ b = -170 - 41*50/13 = -4260/13
{ с = -330 - 58*50/13 + 9*4260/13 = 31150/13
{ d = -121 - 40*50/13 + 13*4260/13 - 4*31150/13 = -72793/13
{ e = -50/13 + 4260/13 - 31150/13 + 72793/13 = 45853/13
Получили такой приведенный многочлен:
[m]\large f(x) = x^5 + \frac{50}{13} \cdot x^4 - \frac{4260}{13} \cdot x^3 + \frac{31150}{13} \cdot x^2 - \frac{72793}{13} \cdot x + \frac{45853}{13}[/m]
Этот же многочлен в не приведенном виде выглядит так:
13*f(x) = 13x^5 + 50x^4 - 4260x^3 + 31150x^2 - 72793x + 45853
Для деления многочленов удобнее, чтобы коэффициенты были целыми.
Чтобы разделить его на многочлен (x - 2), можно воспользоваться схемой Горнера.
Она приведена на рисунке.
Как видим, при делении многочлена 13*f(x) : (x - 2) получается остаток:
[b]-7997[/b]
Остаток на рисунке выделен красным кружочком.
Значит, при делении f(x) : (x - 2) получится остаток:
[b]-7997/13[/b]
Это и есть ответ.