Задача 79779 Точки Е и F служат серединами сторон АВ...

6808dcefaf10015c1ea4d400

4/25/2025 1:16:12 PM

Точки Е и F служат серединами сторон АВ и СД четырехугольника
АВСД. Доказать, что EF = (ВС + АД)/2. Вывести отсюда теорему о средней
линии трапеции.

5f3eaa23faf909182968dde0

4/26/2025 5:01:08 AM

★

Пусть О - произвольная точка плоскости.
Так как Е - середина АВ, F - середина СD, то по правилу параллелограмма сложения векторов получаем:
ОЕ^(→) =(1/2)(ОА^(→)+ОВ^(→)),
ОF^(→)=(1/2)(OD^(→)+OC^(→)).
По правилу вычитания векторов:
EF^(→)=OF^(→)-OE^(→)=(1/2)(OD^(→)+OC^(→))-(1/2)(ОА^(→)+ОВ^(→))=(1/2)(OD^(→)+OC^(→)-OA^(→)-^OB(→))=
=(1/2)((OD^(→)-OA^(→))+(OC^(→)-OB^(→)))=(1/2)(AD^(→)+BC^(→)).
Так как длина вектора равна длине отрезка, то получаем:
EF=(1/2)(AD+BC).
Что и требовалось доказать.

Если АВСD - трапеция, АD и ВС - ее основания, М и N - середины боковых сторон АВ и СD, то МN=(1/2)(AD+BC).

675fe0ac81699f399ffe47ad

4/25/2025 6:27:47 PM

1. E и F — середины AB и CD
OE = OA + 1/2 * AB
OF = OC + 1/2 * CD

2. Вектор EF:
EF = OF - OE

3. Подставим:
EF = (OC + 1/2 * CD) - (OA + 1/2 * AB) = (OC - OA) + 1/2 * (CD - AB)

4. Выразим (OC - OA) через BC и AB:
OC - OA = OB - OA + OC - OB = AB + BC

5. Подставим:
EF = (AB + BC) + 1/2 * (CD - AB) = AB + BC + 1/2 * CD - 1/2 * AB = 1/2 * AB + BC + 1/2 * CD

6. Аналогично:
AD = OD - OA = (OD - OC) + (OC - OA) = DC + (OC - OA) = -CD + (OC - OA)

7. Из шага 3:
EF = (OC - OA) + 1/2 * (CD - AB) = (AD + BC)/2

8. Следовательно:
EF = (AD + BC)/2



Теорема о средней линии трапеции:

Если ABCD — трапеция с основаниями AB || CD, а E, F — середины боковых сторон, то:

EF || AB || CD

EF = (AB + CD)/2