Задача 79707 При всех значениях параметра а решить...

67f66bb392afd87463983cdb

4/9/2025 12:45:48 PM

При всех значениях параметра а решить уравнение 25 ^ x - (a - 1) * 5 ^ x + 2a + 3 = 0 и указать, при каких а оно имеет единственное решение.

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/9/2025 5:18:13 PM

★

25^(x) - (a-1)*5^(x) + (2a+3) = 0
Замена y = 5^(x), тогда 25^(x) = y^2
y^2 - (a-1)*y + (2a+3) = 0
Обыкновенное квадратное уравнение.
Но нужно помнить, что y = 5^(x) > 0 при любом x.
D = (a-1)^2 - 4*1*(2a+3) = a^2 - 2a + 1 - 8a - 12 = a^2 - 10a - 11

1) Если D < 0, то решений нет.
a^2 - 10a - 11 < 0
(a + 1)(a - 11) < 0
a ∈ (-1; 11) - при этих a решений нет.

2) Если D = 0, то решение одно.
a^2 - 10a - 11 = 0
(a + 1)(a - 11) = 0

a1 = -1, тогда [m]y = \frac{a-1}{2} = \frac{-1-1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 < 0[/m] - не подходит.
Значит, при а = -1 тоже решений нет.

a2 = 11, тогда [m]y = \frac{a-1}{2} = \frac{11-1}{2} = \frac{10}{2} = 5[/m]
y = 5^x = 5, x = 1
При a = 11 будет одно решение x = 1

3) Если D > 0, то решений два.
a^2 - 10a - 11 > 0
(a + 1)(a - 11) > 0
a ∈ (-oo; -1) U (11; +oo)
[m]y1 = \frac{a-1 - \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2} > 0[/m]
[m]y2 = \frac{a-1 + \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2} > 0[/m]

Проверяем y1.
[m] \frac{a-1 - \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2} > 0[/m]
a - 1 - sqrt(a^2 - 10a - 11) > 0
sqrt(a^2 - 10a - 11) < a - 1
При a < -1 левая часть > 0, а правая < 0, поэтому решений нет.
При a > 11 обе части > 0, возводим в квадрат обе части:
a^2 - 10a - 11 < a^2 - 2a + 1
-8a < 12
-a < 3/2
Это верно при любом a > 0, и тем более при a > 11.
[m]5^{x} = \frac{a-1 - \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2}[/m]
[m]x = \log_{5} (\frac{a-1 - \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2})[/m]

Проверяем y2.
[m] \frac{a-1 + \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2} > 0[/m]
a - 1 + sqrt(a^2 - 10a - 11) > 0
sqrt(a^2 - 10a - 11) > 1 - a
При a > 1 левая часть > 0, а правая < 0, поэтому решений нет.
При a < -1 обе части > 0, возводим в квадрат обе части:
a^2 - 10a - 11 > a^2 - 2a + 1
12 > 8a
a < 3/2
Это верно при любом a < 0, и тем более при a < -1.
[m]5^{x} = \frac{a-1 + \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2}[/m]
[m]x = \log_{5} (\frac{a-1 + \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2})[/m]

Ответ: При a ∈ [-1; 11) - решений нет.
При а = 11 одно решение x = 1
При a < -1 одно решение [m]x = \log_{5} (\frac{a-1 + \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2})[/m]
При a > 11 одно решение [m]x = \log_{5} (\frac{a-1 - \sqrt{a^2 - 10a - 11} }{2})[/m]