Задача 79690 ...

67f26e55fea3f735935b7fca

4/6/2025 12:08:04 PM

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение √(а^2+х^2 ) = √(а^4-х^4 ) + а^2 + 3а имеет один корень.

626fab9a354ab65fb2f43abb

4/6/2025 6:26:02 PM

★

[m]\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^4-x^4} +a^2+ 3a[/m]
Я не знаю, как это решать аналитически, поэтому решил графически.
Заметим, что область определения:
a^4 - x^4 ≥ 0
(a^2 - x^2)(a^2 + x^2) ≥ 0
a^2 - x^2 ≥ 0
x^2 ≤ a^2
|x| ≤ |a|
Смотрите рисунки.

[b]Рис. 1. a = -2[/b], при этом получается:
sqrt(4 + x^2) = sqrt(16 - x^4) +4 - 6
sqrt(4 + x^2) = sqrt(16 - x^4) - 2
На рисунке мы видим, что два графика пересекаются в одной точке:
x1 = 0
При этом левая и правая части равны 2.
a1 = -2, x = 0

Рис. 2. a = 0, , при этом получается:
sqrt(0 + x^2) = sqrt(0 - x^4) +0 + 0
sqrt(x^2) = sqrt(-x^4)
Правая часть имеет смысл только при x = 0
Левая часть при этом тоже равна 0.
a2 = 0, x = 0
На втором рисунке зеленый график не видно,
потому что он обращается в точку x = 0, y = 0