Задача 79690 ...

67f26e55fea3f735935b7fca

6 апреля 2025 г. в 12:08

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение √(а²+х² ) = √(а⁴–х⁴ ) + а² + 3а имеет один корень.

626fab9a354ab65fb2f43abb

6 апреля 2025 г. в 06:26

★

[m]\sqrt{a^2+x^2} = \sqrt{a^4-x^4} +a^2+ 3a[/m]
Я не знаю, как это решать аналитически, поэтому решил графически.
Заметим, что область определения:
a⁴ – x⁴ ≥ 0
(a² – x²)(a² + x²) ≥ 0
a² – x² ≥ 0
x² ≤ a²
|x| ≤ |a|
Смотрите рисунки.

Рис. 1. a = –2, при этом получается:
√4 + x² = √16 – x⁴ +4 – 6
√4 + x² = √16 – x⁴ – 2
На рисунке мы видим, что два графика пересекаются в одной точке:
x1 = 0
При этом левая и правая части равны 2.
a1 = –2, x = 0

Рис. 2. a = 0, , при этом получается:
√0 + x² = √0 – x⁴ +0 + 0
√x² = √–x⁴
Правая часть имеет смысл только при x = 0
Левая часть при этом тоже равна 0.
a2 = 0, x = 0
На втором рисунке зеленый график не видно,
потому что он обращается в точку x = 0, y = 0