Задача 79688 Решите все. Буду очень вам благодарен...

Ррр_854783186

25 марта 2025 г. в 01:50

Решите все. Буду очень вам благодарен

Удачник66

25 марта 2025 г. в 06:15

★

9. Так как AC = BC, то CM – биссектриса, медиана и высота.
AM = MB = AB/2
cos B = 1/3, cos² B = 1/9
$\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\sin B = \frac{AN}{AB} = \frac{CM}{BC} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (1)
$\cos B = \frac{BM}{BC} = \frac{1}{3}$
Отсюда
$BC = 3 \cdot BM = 3 \cdot \frac{AB}{2} = 1,5 \cdot AB$ (2)
Подставляем равенство (2) в равенство (1):
$\frac{AN}{AB} = \frac{CM}{1,5 \cdot AB}$
$AN = \frac{CM}{1,5}$
$\frac{AN}{CM} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{AN}{CM} = \frac{2}{3}$

10. Так как NQ = MQ, то QF – биссектриса, медиана и высота.
NF = FM = MN/2
∠ M = 75°
∠ 2M = 150°
cos 2M = cos 150° = –cos 30° = –√3/2
По формулам синуса и косинуса половинного угла:
$\large \sin M = \sin 75° = \sqrt{\frac{1- \cos 150°}{2}} = \sqrt{\frac{1+\sqrt{3}/2}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$
$\large \cos M = \cos 75° = \sqrt{\frac{1+ \cos 150°}{2}} = \sqrt{\frac{1-\sqrt{3}/2}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
$\large \sin M = \frac{NE}{MN} = \frac{QF}{QM} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}$(1)
$\large \cos M = \frac{FM}{QM} = \frac{MN}{2QM} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
Отсюда
$\large FM = \frac{MN}{2} = QM \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$
$\large MN = 2 \cdot QM \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$ (2)
Подставляем равенство (2) в равенство (1):
$\large \frac{NE}{2 \cdot QM} \cdot \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \frac{QF}{QM}$
$\large \frac{NE}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = QF$
2 сокращается, остаётся:
$\large \frac{NE}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = QF$
Ответ: $\large \frac{NE}{QF} = \sqrt{2-\sqrt{3}}$

11. По свойствам трапеции:
∠ BAD = 180° – ∠ BCD, ∠ ABC = 180° – ∠ ADC
sin BCD = sin BAD, cos BCD = –cos BAD
sin ADC = sin ABC, cos ADC = –cos ABC
Обозначим боковые стороны трапеции
AB = CD = b
Проведем высоту BH, это высота и трапеции, и треугольника ABD.
Из прямоугольного треугольника ABD:
BD = √AD² – AB² = √40² – b² = √1600 – b²
$\large \cos BAD = \frac{AB}{AD} = \frac{b}{40}$
$\large \sin BAD = \frac{BD}{AD} = \frac{\sqrt{1600 - b^2}}{40}$
$\large \cos BCD = - \cos BAD = -\frac{b}{40}$
Из треугольника BCD по теореме косинусов:
BD² = BC² + CD² – 2·BC·CD·cos BCD
$\large BD^2 = 8^2 + b^2 - 2 \cdot 8 \cdot b \cdot (-\frac{b}{40}) =$
$\large 1600 - b^2 = 64 + b^2 + 16b \cdot \frac{b}{40}$
Дробь сокращаем на 8:
$\large 1600 - b^2 = 64 + b^2 + \frac{2b^2}{5}$
Умножаем всё на 5:
8000 – 5b² = 320 + 5b² + 2b²
12b² = 8000 – 320 = 7680
b² = 7680/12 = 640
b = 8√10
Из прямоугольного треугольника ABD:
$\large \sin BAD = \frac{\sqrt{1600 - b^2}}{40} = \frac{\sqrt{1600 - 640}}{40} = \frac{\sqrt{960}}{40} = \frac{\sqrt{960}}{40} = \frac{8\sqrt{15}}{40} = \frac{\sqrt{15}}{5}$
Из прямоугольного треугольника ABH:
$\large \sin A = \sin BAD = \frac{BH}{AB} = \frac{BH}{b} = \frac{BH}{8\sqrt{10}}$
$\large BH = 8\sqrt{10} \cdot \sin A$
И мы уже знаем, что:
$\large \sin BAD = \frac{\sqrt{15}}{5}$
Отсюда высота BH:
$\large BH = 8\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{8\sqrt{150}}{5} = \frac{8 \cdot 5 \sqrt{6}}{5} = 8 \sqrt{6}$
И наконец находим площадь трапеции:
$\large S(ABCD) = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{40 + 8}{2} \cdot 8 \sqrt{6} = 24 \cdot 8 \sqrt{6} = 192 \sqrt{6}$
Ответ: S(ABCD) = 192√6

12. KL = 8, EF = 12, KE = EL = 8/2 = 4
По теореме Пифагора:
KF = √KE² + EF² = √12² + 4² = √144 + 16 = √160 = 4√10
$\large \sin K = \frac{EF}{KF} = \frac{12}{4 \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$
$\large \cos K = \frac{KE}{KF} = \frac{4}{4 \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$
$\large tg\ K = \frac{EF}{KE} = \frac{12}{4} = 3$
$\large ctg\ K = \frac{1}{tg\ K} = \frac{1}{3}$

13. AB = 5BC
По теореме Пифагора:
AC = √AB² – BC² = √25BC² – BC² = √24BC² = 2√6·BC
$\large \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2 \sqrt{6} \cdot BC}{5BC} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$
$\large \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{BC}{5BC} = \frac{1}{5}$
$\large tg\ B = \frac{AC}{BC} = \frac{2 \sqrt{6}}{5} : \frac{1}{5} = 2 \sqrt{6}$
$\large ctg\ B = \frac{1}{tg\ B} = \frac{1}{2 \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

14. Проведем высоту OH перпендикулярно AB.
AH = BH = AB/2 = 8/2 = 4
OH = AD/2 = 12/2 = 6
Из прямоугольного треугольника BOH:
OB = √AH² + OH² = √4² + 6² = √16 + 36 = √52 = 2√13
$\large \sin \alpha/2 = \frac{BH}{OB} = \frac{4}{2 \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$
$\large \cos \alpha/2 = \frac{OH}{OB} = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$
$\large \sin \alpha = 2 \sin \alpha/2 \cdot \cos \alpha/2 = 2 \cdot \frac{2\sqrt{13}}{13} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{13} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13}{13 \cdot 13} = \frac{12}{13}$
$\large \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169-144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}$
$\large tg\ \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{13} : \frac{5}{13} = \frac{12}{5}$
$\large ctg\ \alpha = \frac{1}{tg\ \alpha} = \frac{5}{12}$

15. Проводим две высоты MA и TB
AB = MT = 4
Так как трапеция равнобедренная, то:
KA = BF = (KF – AB)/2 = (10 – 4)/2 = 6/2 = 3
Из прямоугольного треугольника AKM:
MA = √KM² – KA² = √5² – 3² = √25 – 9 = √16 = 4
$\large \sin K = \frac{MA}{KM} = \frac{4}{5}$
$\large \cos K = \frac{KA}{KM} = \frac{3}{5}$

16. Проводим высоту KH = FE = 4√3
EH = FK = 4; HR = ER – EH = 8 – 4 = 4
$\large tg\ R = \frac{KH}{HR} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$
$R = \frac{\pi}{3}$
$\sin R = \frac{\sqrt{3}}{2}$