Задача 79658 ...
Условие
ВАРИАНТ 7
Решите тригонометрические уравнения:
1. 6sin²x – 7sinx – 5 = 0
2. 3sin²x + 10cosx – 10 = 0
3. 2sin²x + 11sinxcosx + 14cos²x = 0
4. 3tgx – 5ctgx + 14 = 0
5. 10sin²x – sin2x = 8cos²x
6. 1 – 6cos²x = 2sin2x + cos2x
Решение
А квадратные уравнения вы решать уже умеете.
Только нужно следить, что sin x и cos x принимают значения [-1; 1].
1) 6sin^2 x - 7sin x - 5 = 0
Тут готовое квадратное уравнение относительно sin x.
D = (-7)^2 - 4*6*(-5) = 49 + 120 = 169 = 13^2
sin x1 = (7 - 13)/12 = -6/12 = -1/2
x1 = (-1)^n*(-π/6) + π*n, n ∈ Z
sin x2 = (7 + 13)/12 = 20/12 > 1
Решений нет.
Ответ: x = (-1)^n*(-π/6) + π*n, n ∈ Z
2) 3sin^2 x + 10cos x - 10 = 0
Представим sin^2 x = 1 - cos^2 x
3 - 3cos^2 x + 10cos x - 10 = 0
-3cos^2 x + 10cos x - 7 = 0
Получили квадратное уравнение относительно cos x.
D = 10^2 - 4(-3)(-7) = 100 - 84 = 16 = 4^2
cos x1 = (-10 - 4)/(-6) = 14/6 > 1
Решений нет.
cos x2 = (-10 + 4)/(-6) = -6/(-6) = 1
x2 = 2π*n, n ∈ Z
Ответ: x = 2π*n, n ∈ Z
3) 2sin^2 x + 11sin x*cos x + 14cos^2 x = 0
Делим всё уравнение на cos^2 x
2tg^2 x + 11tg x + 14 = 0
Квадратное уравнение относительно tg x.
D = 11^2 - 4*2*14 = 121 - 112 = 9 = 3^2
tg x1 = (-11 - 3)/4 = -14/4 = -7/2
У функций tg x и ctg x нет никаких ограничений по значениям.
x1 = -arctg (7/2) + π*n, n ∈ Z
tg x2 = (-11 + 3)/4 = -8/4 = -2
x2 = -arctg 2 + π*n, n ∈ Z
Ответ: x1 = -arctg (7/2) + π*n, x2 = -arctg 2 + π*n, n ∈ Z
4) 3tg x - 5ctg x + 14 = 0
ctg x = 1/tg x, поэтому умножаем всё на tg x
3tg^2 x - 5 + 14tg x = 0
Квадратное уравнение относительно tg x.
Дальше сами решите.
Ответ: x1 = -arctg 5 + π*n, x2 = arctg (1/3) + π*n, n ∈ Z
5) 10sin^2 x - sin 2x = 8cos^2 x
10sin^2 x - 2sin x*cos x - 8cos^2 x = 0
Сокращаем на 2:
5sin^2 x - sin x*cos x - 4cos^2 x = 0
Дальше всё, как в 3) номере.
Ответ: x1 = π/4 + π*n, x2 = -arctg (4/5) + π*n, n ∈ Z
6) 1 - 6cos^2 x = 2sin 2x + cos 2x
здесь надо вспомнить формулы синуса и косинуса двойного угла.
(sin^2 x + cos^2 x) - 6cos^2 x - 4sin x*cos x - (cos^2 x - sin^2 x) = 0
2sin^2 x - 4sin x*cos x - 6cos^2 x = 0
Сокращаем на 2:
sin^2 x - 2sin x*cos x - 3cos^2 x = 0
Дальше всё, как в 3) номере.
Ответ: x1 = -π/4 + π*n, x2 = arctg 3 + π*n, n ∈ Z