Задача 79657 ...
Условие
Решение
По формулам приведения:
sin (3π/2 - x) = -cos x
[m]\log_4 (2+2 \cos 2x) = \log_{\sqrt{2}} (-2 \cos x)[/m]
Область определения для логарифма:
{ 2 + 2cos 2x > 0
{ -2 cos x > 0
Делим на 2 оба неравенства:
{ 1 + cos 2x > 0
{ -cos x > 0
Решаем:
{ cos 2x > -1
{ cos x < 0
Получаем:
{ 2x ≠ π + 2π*n; отсюда x ≠ π/2 + π*n, n ∈ Z
{ x ∈ (π/2 + 2π*k; 3π/2 + 2π*k), k ∈ Z
Область определения:
x ∈ (π/2 + 2π*k; 3π/2 + 2π*k), k ∈ Z
Решаем уравнение. По свойствам логарифмов:
[m]\log_4 a = \frac{1}{2} \cdot \log_2 a = \log_2 \sqrt{a}[/m]
[m]\log_{\sqrt{2}} a = 2 \cdot \log_2 a = \log_2 a^2[/m]
Приводим уравнение к основанию логарифмов 2:
[m]\log_2 \sqrt{2+2 \cos 2x} = \log_2 (-2 \cos x)^2[/m]
Логарифмы равны, основания одинаковы, значит, и выражения под логарифмами тоже равны друг другу:
[m]\sqrt{2+2 \cos 2x} = 4 \cos^2 x[/m]
[m]\sqrt{2(1+ 2\cos^2 x - 1)} = 4 \cos^2 x[/m]
[m]\sqrt{2 \cdot 2\cos^2 x} = 4 \cos^2 x[/m]
[m]\sqrt{4\cos^2 x} = 4 \cos^2 x[/m]
Сделаем замену: sqrt(4cos^2 x) = y
y = y^2
y^2 - y = 0
y1 = 0; y2 = 1
Обратная замена:
1) sqrt(4cos^2 x) = 0
cos^2 x = 0 - не подходит по области определения: cos x < 0
2) sqrt(4cos^2 x) = 1
|2cos x| = 1
Так как по области определения cos x < 0, то:
2cos x = -1
cos x = -1/2
Ответ: [b]x = ± 2π/3 + 2π*n, n ∈ Z[/b]