Задача 79649 Выяснить характер точек разрыва функции...

героин

29 марта 2025 г. в 05:54

Выяснить характер точек разрыва функции

Удачник66

30 марта 2025 г. в 09:42

★

Разрывы здесь в точках, где знаменатель дроби равен 0.
1 – x² = 0
(1 – x)(1 + x) = 0
x1 = –1; x2 = 1
Пределы в этих точках слева и справа:
1) $\lim \limits_{x \to -1-0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+(-1)) arctg\ \frac{1}{-0} = 0 arctg\ (-\infty) = 0 \cdot (-\frac{\pi}{2}) = 0$
$\lim \limits_{x \to -1+0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+(-1)) arctg\ \frac{1}{+0} = 0 arctg\ (+\infty) = 0 \cdot \frac{\pi}{2} = 0$
В точке x = –1 разрыва нет, пределы слева и справа равны.

2) $\lim \limits_{x \to 1-0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+1) arctg\ \frac{1}{+0} = 2 arctg\ (+\infty) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$
$\lim \limits_{x \to 1+0} (1+x) arctg\ \frac{1}{1-x^2} = (1+1) arctg\ \frac{1}{-0} = 2 arctg\ (-\infty) = 2 \cdot \frac{-\pi}{2} = -\pi$
В точке x = 1 неустранимый разрыв 1 вида – скачок функции.
Причем функция определена только в точке x = 1–0, y(1–0) = π