Задача 79603 1. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным...
Условие
Решение
• Точку A поместим в начало координат (0, 0, 0).
• Тогда B = (1, 0, 0), C = (1, 1, 0), D = (0, 1, 0).
• Верхние вершины будут иметь координаты A₁ = (0, 0, 1), B₁ = (1, 0, 1), C₁ = (1, 1, 1), D₁ = (0, 1, 1).
Плоскость ABCD задаётся уравнением z = 0, а её нормаль есть вектор n = (0, 0, 1).
1) Найдём направляющий вектор прямой B₁D.
Вектор →B₁D = D - B₁ = (0, 1, 0) - (1, 0, 1) = (−1, 1, −1).
2) Угол между вектором v = (−1, 1, −1) и нормалью n = (0, 0, 1) найдём через скалярное произведение:
v · n = (−1)·0 + 1·0 + (−1)·1 = −1.
∣v∣ = √((-1)² + 1² + (−1)²) = √3, ∣n∣ = 1.
cos(θ) = (v · n) / (∣v∣ ∣n∣) = (−1) / (√3 · 1) = −1 / √3,
где θ – угол между v и нормалью n (лежит в диапазоне 0°–180°, косинус может быть отрицательным).
3) Искомый угол φ между прямой и плоскостью есть дополняющий к θ до 90°, то есть φ = 90° − θ. Следовательно,
sin(φ) = cos(θ) = |−1 / √3| = 1 / √3.
Ответ: sin(φ) = 1 / √3.