Задача 79589 Задание на картинке. Вычислите пределы,...

🤷🏻‍♀️

17 марта 2025 г. в 05:23

Задание на картинке. Вычислите пределы, используя эквивалентные функции

Удачник66

17 марта 2025 г. в 07:03

★

Эквивалентная функция для логарифма:
ln (1 + x) ∼ x при x → 0
1) $\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$
У нас не x, а cos x. Поэтому его надо преобразовать:
cos x = 1 – 2sin² (x/2)
Так как x → 0, то 2sin² (x/2) → 0, поэтому:
ln cos x ∼ –2sin² (x/2)
$\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos x}{x^2} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{-2 \sin^2 (x/2)}{x^2} = -2 \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 (x/2)}{x^2} =$
$\large = -2 \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 (x/2)}{(x/2)^2 \cdot 2^2} = -\frac{2}{4} \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 (x/2)}{(x/2)^2} = -\frac{2}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$
Здесь я применил 1 Замечательный предел:
$\large \lim \limits_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$
Отсюда
$\large \lim \limits_{t \to 0} \frac{\sin^2 (x/2)}{(x/2)^2} = 1$
Ответ: –1/2

2) $\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos 2x}{\ln \cos x}$
Здесь тоже самое.
cos 2x = 1 – 2sin² x, cos x = 1 – 2sin² (x/2)
ln cos 2x ∼ –2sin² x; ln cos x ∼ –2sin² (x/2)
$\large \lim \limits_{x \to 0} \frac{\ln \cos 2x}{\ln \cos x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{-2 \sin^2 x}{-2 \sin^2 (x/2)} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{\sin^2 (x/2)} =$
$\large = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{(x/2)^2}{\sin^2 (x/2)} \cdot \frac{x^2}{(x/2)^2} = \lim \limits_{x \to 0} 1 \cdot 1 \cdot \frac{x^2}{x^2/4} = 4$
Ответ: 4