Задача 79565 Объяснить и решить нужно. Без каких либо...

Малин

9 марта 2025 г. в 10:32

Объяснить и решить нужно.
Без каких либо функций и всему подобное, плюс нужны формулы.

Удачник66

10 марта 2025 г. в 11:25

★

[m]\large \log_{x-2} (\frac{x+1}{6}) ≤ 0[/m]
Область определения для функции логарифма:
{ x – 2 > 0
{ x – 2 ≠ 1
{ (x + 1)/6 > 0
Решаем:
{ x > 2
{ x ≠ 3
{ x > –1
Получаем:
x ∈ (2; 3) U (3; +oo)
Есть свойство логарифмов:
[m]\large \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}[/m]
Причем новое основание может быть каким угодно, с обычными
ограничениями: c > 0; c ≠ 1. Возьмем, например, c = 10
[m]\Large \frac{\lg (\frac{x+1}{6})}{\lg (x-2)} ≤ 0[/m]

1) Если x ∈ (2; 3), то x – 2 ∈ (0; 1), тогда lg (x–2) < 0
[m]\large \lg (\frac{x+1}{6}) ≥ 0[/m]
[m]\large \frac{x+1}{6} ≥ 1[/m]
x + 1 ≥ 6
x ≥ 5
Но по условию x ∈ (2; 3), поэтому в этом варианте решений нет.

2) Если x > 3, то x – 2 > 1, тогда lg (x–2) > 0
[m]\large \lg (\frac{x+1}{6}) ≤ 0[/m]
[m]\large \frac{x+1}{6} ≤ 1[/m]
x + 1 ≤ 6
x ≤ 5
Учитывая условие x > 3, получаем:

Ответ: x ∈ (3; 5]