Задача 79563 Логарифмические уравнения...

Stefa

5 марта 2025 г. в 08:10

Логарифмические уравнения

626fab9a354ab65fb2f43abb

5 марта 2025 г. в 07:28

★

[m]2^{x} \cdot \log_{3}(x) + 3^{x} \cdot \log_{2}(x) = \frac{2 \cdot 3^{x}}{3} \cdot \log_{3}(x) + \frac{3 \cdot 2^{x}}{2} \cdot \log_{2}(x)[/m]
Объединяем члены с одинаковыми степенями и выносим их за скобки:
[m]2^{x} \cdot (\log_{3}(x) - \frac{3}{2} \cdot \log_{2}(x)) = 3^{x} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \log_{3}(x) - \log_{2}(x))[/m]
Вспоминаем замечательное свойство логарифмов:
[m]\large \log_{a} (b) = \frac{\log_{c} (b)}{\log_{c} (a)}[/m]
Причем новое основание c может быть любым. Возьмем десятичные логарифмы.
[m]2^{x} \cdot (\frac{\lg (x)}{\lg (3)} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\lg (x)}{\lg (2)}) = 3^{x} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{\lg (x)}{\lg (3)} - \frac{\lg (x)}{\lg (2)})[/m]
Переносим всё налево:
[m]2^{x} \cdot (\frac{\lg (x)}{\lg (3)} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\lg (x)}{\lg (2)}) - 3^{x} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{\lg (x)}{\lg (3)} - \frac{\lg (x)}{\lg (2)}) = 0[/m]
Выносим lg(x) за скобки:
[m]\lg (x) \cdot [2^{x} \cdot (\frac{1}{\lg (3)} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\lg (2)}) - 3^{x} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\lg (3)} - \frac{1}{\lg (2)}) ]= 0[/m]
Если произведение равно 0, то один из членов равен 0.
1) lg (x) = 0
x = 1

2) [m]2^{x} \cdot (\frac{1}{\lg (3)} - \frac{3}{2\lg (2)}) - 3^{x} \cdot (\frac{2}{3\lg (3)} - \frac{1}{\lg (2)}) = 0[/m]
Приводим дроби к общему знаменателю:
[m]2^{x} \cdot (\frac{2\lg (2)}{2\lg (2)\lg (3)} - \frac{3\lg (3)}{2\lg (2)\lg (3)}) - 3^{x} \cdot (\frac{2\lg (2)}{3\lg (3)\lg (2)} - \frac{3\lg (3)}{3\lg (3)\lg (2)}) = 0[/m]

[m]2^{x} \cdot \frac{2\lg (2) - 3\lg (3)}{2\lg (2)\lg (3)} - 3^{x} \cdot \frac{2\lg (2) - 3\lg (3)}{3\lg (3)\lg (2)} = 0[/m]
Выносим за скобки общие множители:
[m]\frac{2\lg (2) - 3\lg (3)}{\lg (2)\lg (3)} \cdot (2^{x} \cdot \frac{1}{2} - 3^{x} \cdot \frac{1}{3}) = 0[/m]
Множитель [m]\frac{2\lg (2) - 3\lg (3)}{\lg (2)\lg (3)}[/m] – это число и на него можно разделить.
[m]2^{x} \cdot \frac{1}{2} - 3^{x} \cdot \frac{1}{3} = 0[/m]

[m]2^{x-1} - 3^{x-1} = 0[/m]

[m]2^{x-1} = 3^{x-1}[/m]

[m](\frac{2}{3})^{x-1} = 1[/m]
Отсюда x – 1 = 0,
x = 1

Получилось, что оба корня равны 1.

Ромашка дала ответ : (0; 1], но он неправильный. Я проверил x = 0,5:
[m]2^{0,5} \cdot \log_{3}(0,5) + 3^{0,5} \cdot \log_{2}(0,5) = \frac{2 \cdot 3^{0,5}}{3} \cdot \log_{3}(0,5) + \frac{3 \cdot 2^{0,5}}{2} \cdot \log_{2}(0,5)[/m]
Слева получается примерно –2,62432, а справа примерно –2,8498

Ответ: 1.

5f3eaa23faf909182968dde0

5 марта 2025 г. в 08:35

Ответ: (0;1].