Задача 79555 19) Натуральное число n > 1 будем...

5f282cfba9074b3a3bc0f013

3/8/2025 9:02:40 AM

19) Натуральное число n > 1 будем называть хорошим, если его последняя цифра больше 1, и оно делится на последнюю цифру. Частное от деления хорошего числа n на последнюю цифру обозначим n^*.
а) Может ли быть n^* = 18?
б) Пусть m — натуральное число. При каких значениях последней цифры числа m существует такое хорошее число n, что n^* = m?
в) Натуральное число n > 1 будем называть отличным, если все его натуральные делители, кроме 1, хорошие числа. Найдите все отличные числа.

Источник: alexlarin.net, вариант 494

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/8/2025 11:38:23 AM

★

Обозначим число n = 10a + b, где b > 1.
Здесь а может быть любым числом, главное, что последняя цифра b.
Тогда получается:
n : b = (10a + b) : b = n^(^.) = 10k + c
Значит:
n^(^.) * b = (10k + c)*b = 10a + b
При умножении 10k + c на b получается число, кончающееся на b.
Могут быть такие варианты:
c = 1, b - любое число больше 1.
b = 2, c = 6
b = 4, c = 6
b = 5, c - любое нечетное число.
b = 6, c = 6
b = 8, c = 6
Отвечаем на вопросы:
а) n^(^.) не может равняться 18, потому что оно кончается не на 6
и не на нечетное число.

б) Последней цифрой числа m = n^(^.) может быть 1, 6 или
любое нечетное число, если n кончается на 5.

в) Отличные числа n > 1 - это:
1) Все однозначные числа больше 1:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2) Квадраты всех однозначных чисел больше 1:
4 и 9 и так уже есть, еще 16, 25, 36, 49, 64, 81
3) Произведения любого количества однозначных чисел:
Но среди делителей не должно быть чисел 2 и 5 одновременно,
чтобы ни один делитель не кончался на 0.
И число, а также ни один его делитель не должен кончаться на 1:
12 = 3*4, 15 = 3*5, 18 = 3*6, 35 = 5*7 и т.д.
Может, и еще есть какие-то отличные числа, я пока сообразить не могу.