Задача 79550 Реши по теме касательных уравнение ...
Условие
Решение
Видимо, задание состоит в том, чтобы найти уравнение касательной
y = ax + b при заданном значении а.
29.8. а) f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 7, a = 1
Уравнение касательной в точке x0:
y(x) = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)
Мы не знаем точку x0, зато знаем коэффициент а = f'(x0):
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
a = f'(x0) = 3*x0^2 - 6*x0 + 2 = 1
Получаем квадратное уравнение:
3*x0^2 - 6*x0 + 1 = 0
D/4 = (-3)^2 - 3*1 = 9 - 3 = 6
x0_(1) = (3 - sqrt(6))/3
[m]f(x0_(1)) = \frac{(3-\sqrt{6})^3}{27} - 3 \cdot \frac{(3-\sqrt{6})^2}{9} + 2 \cdot \frac{3-\sqrt{6}}{3} - 7 = [/m]
[m]=\frac{27-27\sqrt{6}+9 \cdot 6 - 6\sqrt{6}}{27} - \frac{9 - 6\sqrt{6}+6}{3} + \frac{6-2\sqrt{6}}{3} - 7 =[/m]
[m]=\frac{27-11\sqrt{6}}{9} - \frac{45 - 18\sqrt{6}}{9} + \frac{18-6\sqrt{6}}{9} - \frac{63}{9} =[/m]
[m] =\frac{27-11\sqrt{6} - 45 + 18\sqrt{6} + 18 - 6\sqrt{6} - 63}{9} = \frac{-63+\sqrt{6}}{9}[/m]
Уравнение касательной в точке A((3 - sqrt(6))/3; (-63+sqrt(6))/9):
y(x) = (-63+sqrt(6))/9 + 1(x - (3 - sqrt(6))/3) = x + (-63+sqrt(6)-9+3sqrt(6))/9
y(x) = x - (72 - 4sqrt(6))/9
x0_(2) = (3 + sqrt(6))/3
[m]f(x0_(2)) = \frac{(3+\sqrt{6})^3}{27} - 3 \cdot \frac{(3+\sqrt{6})^2}{9} + 2 \cdot \frac{3+\sqrt{6}}{3} - 7 = [/m]
[m]=\frac{27+27\sqrt{6}+9 \cdot 6 + 6\sqrt{6}}{27} - \frac{9 + 6\sqrt{6}+6}{3} + \frac{6+2\sqrt{6}}{3} - 7 =[/m]
[m]=\frac{27+11\sqrt{6}}{9} - \frac{45 + 18\sqrt{6}}{9} + \frac{18+6\sqrt{6}}{9} - \frac{63}{9} = [/m]
[m] = \frac{27+11\sqrt{6} - 45 - 18\sqrt{6} + 18 + 6\sqrt{6} - 63}{9} = \frac{-63-\sqrt{6}}{9}[/m]
Уравнение касательной в точке B((3 + sqrt(6))/3; (-63-sqrt(6))/9):
y(x) = (-63-sqrt(6))/9 + 1(x - (3 + sqrt(6))/3) = x + (-63-sqrt(6)-9-3sqrt(6))/9
y(x) = x - (72+4sqrt(6))/9
б) f(x) = -7x^3 + 10x^2 + x - 12; a = 0
f'(x) = -21x^2 + 20x + 1
a = f'(x0) = -21*x0^2 + 20*x0 + 1 = 0
D/4 = 10^2 - (-21)*1 = 100 + 21 = 121 = 11^2
x0_(1) = (-10 - 11)/(-21) = -21/(-21) = 1
f(x0_(1)) = -7*1^3 + 10*1^2 + 1 - 12 = -7 + 10 + 1 - 12 = -8
Уравнение касательной в точке A(1; -8):
y(x) = -8
x0_(2) = (-10 + 11)/(-21) = 1/(-21) = -1/21
f(x0_(2)) = -7*(-1/21)^3 + 10*(-1/21)^2 + (-1/21) - 12 =
= 7/(3^3*7^3) + 10/21^2 - 1/21 - 12 = 1/(27*49) + 10/441 - 1/21 - 12 =
= 1/1323 + 30/1323 - 63/1323 - 15876/1323 = -15908/1323
Уравнение касательной в точке B(-1/21; -15908/1323):
y(x) = -15908/1323