Задача 79533 ...

5f282cfba9074b3a3bc0f013

3/8/2025 8:55:58 AM

13)
а) Решите уравнение

sin (log(sqrt(x))x^(πx)) + sin (πx) + cos (π x) + cos (log(x)x^(2πx)) = 0

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-1;1].

Источник: alexlarin.net, вариант 494

626fab9a354ab65fb2f43abb

3/8/2025 2:33:00 PM

★

а) [m]\large \sin (\log_{\sqrt{x}}x^{\pi x}) + \sin(\pi x) + \cos (\pi x) + \cos (\log_{x} x^{2\pi x}) = 0[/m]
Область определения для логарифма:
x > 0, x ≠ 1
Сначала упростим логарифмы:
[m]\large \log_{\sqrt{x}}x^{\pi x} = 2\log_{x}x^{\pi x} = 2\pi x[/m]
[m]\large \log_{x} x^{2\pi x} = 2\pi x[/m]
Подставляем:
[m]\large \sin (2\pi x) + \sin(\pi x) + \cos (\pi x) + \cos (2\pi x) = 0[/m]
Формулы суммы синусов и суммы косинусов:
[m]\large \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} [/m]
[m]\large \cos a + cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}[/m]
Применяем:
[m]\large 2 \sin \frac{2\pi x + \pi x}{2} \cos \frac{2\pi x - \pi x}{2} + 2 \cos \frac{2\pi x + \pi x}{2} \cos \frac{2\pi x - \pi x}{2} = 0[/m]
[m]\large 2 \sin \frac{3\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 2 \cos \frac{3\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} = 0[/m]
[m]\large 2 \cos \frac{\pi x}{2} (\sin \frac{3\pi x}{2} + \cos \frac{3\pi x}{2}) = 0[/m]

1) cos (πx/2) = 0[/m]
πx/2 = π/2 + π*n
x/2 = 1/2 + n
x1 = 1 + 2n; n ∈ Z

2) sin (3πx/2) + cos (3πx/2) = 0
sin (3πx/2) = -cos (3πx/2)
tg (3πx/2) = -1
3πx/2 = -π/4 + π*k
3x/2 = -1/4 + k
x2 = -1/6 + 2k/3 = -1/6 + 4k/6 = (4k - 1)/6
x2 = (4k - 1)/6; k ∈ Z
Но по области определения x > 0, x ≠ 1, поэтому:
x1 = 2n + 1; n ∈ Z; n >= 0
x2 = (4k - 1)/6; k ∈ Z; k >= 1
Вместо этого можно написать так:
x1 = 2n + 1; n ∈ N
x2 = (4k - 1)/6; k ∈ N

б) Корни, принадлежащие промежутку [-1; 1]
n = 0 ⇒ x = 1;
k = 1 ⇒ x = 3/6 = 1/2
Но по области определения x > 0, x ≠ 1, поэтому:
x = 1/2

Ответ: а) x1 = 2n + 1; n ∈ N; x2 = (4k - 1)/6; k ∈ N
б) x = 1/2