Задача 79533 ...

admin

8 марта 2025 г. в 08:55

13)
а) Решите уравнение

sin (log_√xx^πx) + sin (πx) + cos (π x) + cos (log_xx^2πx) = 0

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [–1;1].

Источник: alexlarin.net, вариант 494

Удачник66

8 марта 2025 г. в 02:33

★

а) [m]\large \sin (\log_{\sqrt{x}}x^{\pi x}) + \sin(\pi x) + \cos (\pi x) + \cos (\log_{x} x^{2\pi x}) = 0[/m]
Область определения для логарифма:
x > 0, x ≠ 1
Сначала упростим логарифмы:
[m]\large \log_{\sqrt{x}}x^{\pi x} = 2\log_{x}x^{\pi x} = 2\pi x[/m]
[m]\large \log_{x} x^{2\pi x} = 2\pi x[/m]
Подставляем:
[m]\large \sin (2\pi x) + \sin(\pi x) + \cos (\pi x) + \cos (2\pi x) = 0[/m]
Формулы суммы синусов и суммы косинусов:
[m]\large \sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} [/m]
[m]\large \cos a + cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}[/m]
Применяем:
[m]\large 2 \sin \frac{2\pi x + \pi x}{2} \cos \frac{2\pi x - \pi x}{2} + 2 \cos \frac{2\pi x + \pi x}{2} \cos \frac{2\pi x - \pi x}{2} = 0[/m]
[m]\large 2 \sin \frac{3\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} + 2 \cos \frac{3\pi x}{2} \cos \frac{\pi x}{2} = 0[/m]
[m]\large 2 \cos \frac{\pi x}{2} (\sin \frac{3\pi x}{2} + \cos \frac{3\pi x}{2}) = 0[/m]

1) cos (πx/2) = 0[/m]
πx/2 = π/2 + π·n
x/2 = 1/2 + n
x1 = 1 + 2n; n ∈ Z

2) sin (3πx/2) + cos (3πx/2) = 0
sin (3πx/2) = –cos (3πx/2)
tg (3πx/2) = –1
3πx/2 = –π/4 + π·k
3x/2 = –1/4 + k
x2 = –1/6 + 2k/3 = –1/6 + 4k/6 = (4k – 1)/6
x2 = (4k – 1)/6; k ∈ Z
Но по области определения x > 0, x ≠ 1, поэтому:
x1 = 2n + 1; n ∈ Z; n >= 0
x2 = (4k – 1)/6; k ∈ Z; k >= 1
Вместо этого можно написать так:
x1 = 2n + 1; n ∈ N
x2 = (4k – 1)/6; k ∈ N

б) Корни, принадлежащие промежутку [–1; 1]
n = 0 ⇒ x = 1;
k = 1 ⇒ x = 3/6 = 1/2
Но по области определения x > 0, x ≠ 1, поэтому:
x = 1/2

Ответ: а) x1 = 2n + 1; n ∈ N; x2 = (4k – 1)/6; k ∈ N
б) x = 1/2