Задача 79500 9. Найти все значения параметра [m] k...

Всеволодъ_532830554

3 марта 2025 г. в 02:45

9. Найти все значения параметра [m] k [/m], при каждом из которых существует хотя бы одно общее решение у неравенств

[m] x^2 + 4kx + 3k^2 > 1 \quad и \quad x^2 + 2kx \leq 3k^2 - 8k + 4. [/m]

Удачник66

4 марта 2025 г. в 04:05

★

Общее решение – это решение, при котором верны оба неравенства.
То есть по сути решение системы неравенств.
{ x² + 4kx + 3k² > 1
{ x² + 2kx ≤ 3k² – 8k + 4
Запишем их как обычные квадратные неравенства:
{ x² + 4kx + (3k² – 1) > 0
{ x² + 2kx – (3k² – 8k + 4) ≤ 0

Решаем квадратные уравнения:
{ D/4 = (2k)² – (3k² – 1) = 4k² – 3k² + 1 = k² + 1 > 0 при любом k.
{ D/4 = k² + (3k² – 8k + 4) = 4k² – 8k + 4 = 4(k – 1)² ≥ 0 при любом k.
Находим корни:
{ x1 = –2k – √k² + 1; x2 = –2k + √k² + 1
{ x3 = –k – 2(k–1) = –3k + 2; x4 = –k + 2(k–1) = k – 2
Заметим, что:
{ x1 < x2 при любом k
{ x3 < x4, то есть –3k + 2 < k – 2 при 4 < 4k, то есть при k > 1

Решения неравенств:
{ x ∈ (–oo; –2k – √k² + 1) U (–2k + √k² + 1; +oo)
{ x ∈ [–3k + 2; k – 2] при k > 1 или x ∈ [k – 2; –3k + 2] при k < 1

Сначала найдём, при каких k общих решений нет.
Возможно 2 варианта, они показаны на Рисунке.
Решение 1 неравенства показано красной штриховкой,
а решение 2 неравенства – зеленой штриховкой.
Извините, штриховка кривовата, но уж рисую как умею.

Итак, решаем два варианта:
1)
{ k > 1
{ –2k – √k² + 1 < –3k + 2
{ –2k + √k² + 1 > k – 2
Выделяем квадратные корни:
{ k > 1
{ k – 2 < √k² + 1
{ √k² + 1 > –3k – 2
Так как k > 1, то –3k – 2 < –5, а √k² + 1 > 0 > –5 при любом k > 1
Поэтому третье неравенство выполнено всегда и его можно опустить.
Во 2 неравенстве при k ∈ (1; 2) будет k–2 < 0 и оно тоже выполнено всегда.
Рассмотрим k ≥ 2, тогда k–2 ≥ 0 и можно возвести в квадрат обе части.
{ k ≥ 2
{ k² – 4k + 4 < k² + 1
Приводим подобные:
{ k ≥ 2
{ 4k > 3
Получаем:
{ k ≥ 2
{ k > 3/4
Решение: k ≥ 2

2)
{ k < 1
{ –2k – √k² + 1 < k – 2
{ –2k + √k² + 1 > –3k + 2
Выделяем квадратные корни:
{ k < 1
{ –3k + 2 < √k² + 1
{ √k² + 1 > k + 2
а) При k ∈ (2/3; 1) будет –3k + 2 < 0 и 2 неравенство выполнено при любом k ∈ (2/3; 1)
При этом k + 2 > 0 и можно возвести в квадрат обе части 3 неравенства:
{ k ∈ (2/3; 1)
{ k² + 1 > k² + 4k + 4
Приводим подобные:
{ k ∈ (2/3; 1)
{ 4k < –3
Получаем:
{ k ∈ (2/3; 1)
{ k < –3/4
Эта система решений не имеет.

б) При k < –2 будет k + 2 < 0 и 3 неравенство выполнено при любом k < –2
При этом –3k + 2 > 0 и можно возвести в квадрат обе части 2 неравенства:
{ k < –2
{ 9k² – 12k + 4 < k² + 1
Приводим подобные:
{ k < –2
{ 8k² – 12k + 3 < 0
Решаем квадратное неравенство:
D/4 = (–6)² – 8·3 = 36 – 24 = 12 = (2√3)²
k1 = (6 – 2√3)/8 = (3 – √3)/4 ≈ 0,317 > –2
k2 = (6 + 2√3)/8 = (3 + √3)/4 ≈ 1,183 > –2
Получаем:
{ k < –2
{ k ∈ ((3 – √3)/4; (3 + √3)/4)
Эти промежутки не пересекаются, система решений не имеет.

Итак, мы получили, что система:
{ x² + 4kx + 3k² > 1
{ x² + 2kx ≤ 3k² – 8k + 4
Не имеет решений только в одном варианте: при k ≥ 2

Ответ: При k < 2 система имеет хотя бы одно решение.