Задача 79498 ...

67c5605c54da156eee528c7a

3 марта 2025 г. в 07:56

Найдите площадь фигуры ограниченный линиями
1.y=x²–x
2.y= –x²+3x

5f282cfba9074b3a3bc0f013

4 марта 2025 г. в 08:10

★

Найдём точки пересечения парабол, решая уравнение
x² − x = −x² + 3x.
Перенесём все члены в одну сторону:
x² − x + x² − 3x = 0 ⇒ 2x² − 4x = 0 ⇒ 2x(x − 2) = 0,
откуда x = 0 или x = 2.

Далее определим, какая из функций выше на промежутке [0,2]. Нетрудно проверить, например, при x=1:
• y₁(1) = 1² − 1 = 0,
• y₂(1) = −1² + 3·1 = 2,
то есть парабола y = −x² + 3x лежит выше.

Тогда площадь ищется по формуле
S = ∫[0..2] ( (−x² + 3x) − (x² − x) ) dx = ∫[0..2] (−2x² + 4x) dx.

Вычислим интеграл:
∫ (−2x² + 4x) dx = −2 · (x³/3) + 4 · (x²/2) = −(2/3)x³ + 2x².

Подставляя пределы:
S = [ −(2/3)x³ + 2x² ] (от 0 до 2)
= [ −(2/3)·(2³) + 2·(2²) ] − [0]
= [ −(16/3) + 8 ]
= 8 − 16/3 = (24/3 − 16/3) = 8/3.

Откуда искомая площадь равна 8/3.