Задача 79496 Найти интегралы от рациональных дробей...

Андрей_304366999

6 марта 2025 г. в 09:46

Найти интегралы от рациональных дробей

Удачник66

6 марта 2025 г. в 11:43

★

Метод неопределенных коэффициентов
а) [m]\int \frac{xdx}{x^2-5x+6} = \int \frac{xdx}{(x-2)(x-3)} = \int (\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}) dx[/m]
Раскладываем дробь на сумму или разность дробей:
[m]\frac{x + 0}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3} = \frac{A(x-3) + B(x-2)}{(x-2)(x-3)} =[/m]
[m]= \frac{Ax-3A + Bx-2B}{(x-2)(x-3)} = \frac{x(A+B) + (-3A-2B)}{(x-2)(x-3)}[/m]
Составляем систему:
{ A + B = 1 (коэффициент при x)
{ –3A – 2B = 0 (свободный член)
Умножаем 1 уравнение на 2:
{ 2A + 2B = 2
{ –3A – 2B = 0
Складываем уравнения:
–A = 2
A = –2
–2 + B = 1
B = 3
Подставляем в интеграл:
[m]\int \frac{xdx}{x^2-5x+6} = \int \frac{-2}{x-2} dx + \frac{3}{x-3} dx = -2\ln|x-2| + 3\ln|x+3| + C[/m]

б) [m]\int \frac{xdx}{x^3-1} = \int \frac{xdx}{(x-1)(x^2+x+1)} = \int (\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}) dx[/m]
[m]\frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1} = \frac{A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)} =[/m]
[m]=\frac{Ax^2+Ax+A + Bx^2+Cx-Bx-C}{(x-1)(x^2+x+1)} =\frac{x^2(A+B)+x(A-B+C)+(A-C)}{(x-1)(x^2+x+1)} [/m]
Система:
{ A + B = 0
{ A – B + C = 1
{ A – C = 0
Решаем:
{ B = –A
{ C = A
{ A – (–A) + A = 1
A = 1/3; B = –1/3; C = 1/3
Подставляем в интеграл:
[m]\int \frac{xdx}{x^3-1} = \int (\frac{1/3}{x-1} + \frac{-1/3 \cdot x+1/3}{x^2+x+1}) dx = \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{3} \int \frac{x-1}{x^2+x+1} dx[/m]
Второй интеграл решается заменой:
x² + x + 1 = t; dt = (2x + 1) dx
x² + x + 1 = x² + 2x·1/2 + (1/2)² + 3/4 = (x + 1/2)² + (√3/2)²
x – 1 = 1/2·(2x – 2) = 1/2·(2x + 1 – 3) = 1/2·(2x + 1) – 3/2
[m]\int \frac{x-1}{x^2+x+1} dx = \int \frac{1/2 \cdot (2x+1)}{x^2+x+1} dx - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac {dt}{t} - \frac{3}{2} \int \frac{dx}{(x + 1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \ln |t| - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} arctg \frac{2(x+1/2)}{\sqrt{3}} + C[/m]
В итоге получается интеграл:
[m]\int \frac{xdx}{x^3-1} = \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \ln |x^2+x+1| - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} arctg \frac{2(x+1/2)}{\sqrt{3}} + C[/m]
[m]\int \frac{xdx}{x^3-1} = \frac{1}{3} \ln |x-1| - \frac{1}{6} \cdot \ln |x^2+x+1| - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot arctg \frac{2x+1}{\sqrt{3}} + C[/m]

в) [m]\int \frac{dx}{x^3+1}[/m]
Он решается также, как б)

г) [m]\int \frac{x+3}{x^2-4x+4} dx [/m]
Замена x² – 4x + 4 = (x–2)² = t; dt = (2x – 4) dx
x + 3 = 1/2·(2x + 6) = 1/2·(2x – 4 + 10) = 1/2·(2x – 4) + 5
[m]\int \frac{x+3}{x^2-4x+4} dx = \int \frac{1/2 \cdot(2x-4) + 5}{x^2-4x+4} dx = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2x-4}{x^2-4x+4} dx + \int \frac{5}{(x-2)^2} dx =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{dt}{t} - \frac{5}{x-2} = \frac{1}{2} \cdot \ln |t| - \frac{5}{x-2} + C = [/m]
[m]=\frac{1}{2} \cdot \ln |(x-2)^2| - \frac{5}{x-2} + C = \ln |x-2| - \frac{5}{x-2} + C[/m]