Задача 79483 ...

675ab27187aa81739148baf3

28 февраля 2025 г. в 06:31

335. Найти частное решение дифференциального уравнения y + p ⋅ y + q ⋅ y = f(x), удовлетворяющее начальным условиям у(0) = у₀, у(0) = у₀

у + 5y + 6y = 12 cos 2x, у(0) = 1, у(0) = 3

Удачник66

28 февраля 2025 г. в 07:34

★

У меня такое чувство, что в задаче пропущены производные.
На самом деле это линейное диф. уравнение 2 порядка:
y'' + 5y' + 6y = 12cos 2x; y(0) = 1; y'(0) = 3
Это неоднородное уравнение 2 порядка.
Однородное уравнение:
y'' + 5y' + 6y = 0
Характеристическое уравнение:
k² + 5k + 6 = 0
(k + 2)(k + 3) = 0
k1 = –3; k2 = –2
Решение однородного уравнения:
y_о (x) = C1·e^–3x + C2·e^–2x

Частное решение неоднородного уравнения:
y_н (x) = A·cos 2x + B·sin 2x
y'_н (x) = –2A·sin 2x + 2B·cos 2x
y''_н (x) = –4A·cos 2x – 4B·sin 2x
Подставляем в уравнение:
–4A·cos 2x – 4B·sin 2x + 5(–2A·sin 2x + 2B·cos 2x) + 6(A·cos 2x + B·sin 2x) = 12cos 2x
(–4A + 10B + 6A)·cos 2x + (–4B – 10A + 6B)·sin 2x = 12cos 2x
(2A + 10B)·cos 2x + (2B – 10A)·sin 2x = 12cos 2x + 0·sin 2x

Составляем систему:
{ 2A + 10B = 12
{ 2B – 10A = 0
Делим оба уравнения на 2:
{ A + 5B = 6
{ B – 5A = 0
Решаем подстановкой:
{ B = 5A
{ A + 5·5A = 6
26A = 6
A = 6/26 = 3/13
B = 5A = 5·3/13 = 15/13
y_н (x) = 3/13·cos 2x + 15/13·sin 2x
Общее решение:
y(x) = y_о (x) + y_н (x) = C1·e^–3x + C2·e^–2x + 3/13·cos 2x + 15/13·sin 2x
Находим производную:
y'(x) = –3C1·e^–3x – 2C2·e^–2x – 6/13·sin 2x + 30/13·cos 2x
Подставляем начальные условия:
{ y(0) = C1·e⁰ + C2·e⁰ + 3/13·cos 0 + 15/13·sin 0 = 1
{ y'(0) = –3C1·e⁰ – 2C2·e⁰ – 6/13·sin 0 + 30/13·cos 0 = 3
Считаем:
{ C1 + C2 + 3/13 = 1
{ –3C1 – 2C2 + 30/13 = 3
Умножаем оба уравнения на 13, переходим к целым числам:
{ 13·C1 + 13·C2 + 3 = 13
{ –39·C1 – 26·C2 + 30 = 39
Приводим подобные:
{ 13·C1 + 13·C2 = 10
{ –39·C1 – 26·C2 = 9
Умножаем 1 уравнение на 2:
{ 26·C1 + 26·C2 = 20
{ –39·C1 – 26·C2 = 9
Складываем уравнения:
–13·C1 = 29
C1 = –29/13
Подставляем в уравнение:
26·(–29/13) + 26·C2 = 20
–29·2 + 26·C2 = 20
26·C2 = 78
C2 = 78/26 = 3

Решение задачи при начальных условиях:
y(x) = –29/13·e^–3x + 3·e^–2x + 3/13·cos 2x + 15/13·sin 2x