Задача 79483 ...

675ab27187aa81739148baf3

2/28/2025 6:31:12 PM

335. Найти частное решение дифференциального уравнения y + p ⋅ y + q ⋅ y = f(x), удовлетворяющее начальным условиям у(0) = у₀, у(0) = у₀

у + 5y + 6y = 12 cos 2x, у(0) = 1, у(0) = 3

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/28/2025 7:34:34 PM

★

У меня такое чувство, что в задаче пропущены производные.
На самом деле это линейное диф. уравнение 2 порядка:
y'' + 5y' + 6y = 12cos 2x; y(0) = 1; y'(0) = 3
Это неоднородное уравнение 2 порядка.
Однородное уравнение:
y'' + 5y' + 6y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 5k + 6 = 0
(k + 2)(k + 3) = 0
k1 = -3; k2 = -2
Решение однородного уравнения:
y_(о) (x) = C1*e^(-3x) + C2*e^(-2x)

Частное решение неоднородного уравнения:
y_(н) (x) = A*cos 2x + B*sin 2x
y'_(н) (x) = -2A*sin 2x + 2B*cos 2x
y''_(н) (x) = -4A*cos 2x - 4B*sin 2x
Подставляем в уравнение:
-4A*cos 2x - 4B*sin 2x + 5(-2A*sin 2x + 2B*cos 2x) + 6(A*cos 2x + B*sin 2x) = 12cos 2x
(-4A + 10B + 6A)*cos 2x + (-4B - 10A + 6B)*sin 2x = 12cos 2x
(2A + 10B)*cos 2x + (2B - 10A)*sin 2x = 12cos 2x + 0*sin 2x

Составляем систему:
{ 2A + 10B = 12
{ 2B - 10A = 0
Делим оба уравнения на 2:
{ A + 5B = 6
{ B - 5A = 0
Решаем подстановкой:
{ B = 5A
{ A + 5*5A = 6
26A = 6
A = 6/26 = 3/13
B = 5A = 5*3/13 = 15/13
y_(н) (x) = 3/13*cos 2x + 15/13*sin 2x
Общее решение:
y(x) = y_(о) (x) + y_(н) (x) = C1*e^(-3x) + C2*e^(-2x) + 3/13*cos 2x + 15/13*sin 2x
Находим производную:
y'(x) = -3C1*e^(-3x) - 2C2*e^(-2x) - 6/13*sin 2x + 30/13*cos 2x
Подставляем начальные условия:
{ y(0) = C1*e^(0) + C2*e^(0) + 3/13*cos 0 + 15/13*sin 0 = 1
{ y'(0) = -3C1*e^(0) - 2C2*e^(0) - 6/13*sin 0 + 30/13*cos 0 = 3
Считаем:
{ C1 + C2 + 3/13 = 1
{ -3C1 - 2C2 + 30/13 = 3
Умножаем оба уравнения на 13, переходим к целым числам:
{ 13*C1 + 13*C2 + 3 = 13
{ -39*C1 - 26*C2 + 30 = 39
Приводим подобные:
{ 13*C1 + 13*C2 = 10
{ -39*C1 - 26*C2 = 9
Умножаем 1 уравнение на 2:
{ 26*C1 + 26*C2 = 20
{ -39*C1 - 26*C2 = 9
Складываем уравнения:
-13*C1 = 29
C1 = -29/13
Подставляем в уравнение:
26*(-29/13) + 26*C2 = 20
-29*2 + 26*C2 = 20
26*C2 = 78
C2 = 78/26 = 3

Решение задачи при начальных условиях:
y(x) = -29/13*e^(-3x) + 3*e^(-2x) + 3/13*cos 2x + 15/13*sin 2x