Задача 79480 3. У Пети есть пять карточек, на которых...

Елена-Алексеевна_295929291

4 февраля 2025 г. в 05:51

3. У Пети есть пять карточек, на которых написаны числа 0, 1, 2, 3, 4, на каждой карточке ровно одно число. (а) Сколькими способами Петя может выложить все свои карточки в ряд? (Ъ) Сколько различных пятизначных чисел может составить Петя из своих карточек? (с) Петя выложил свон карточки в ряд в случайном порядке. Какова вероятность того, что в получившемся ряду четные и нечетные цифры чередуются? (а) Сколько пятизначных чисел, которые делятся на 4, может составить Петя из своих карточек?

admin

5 марта 2025 г. в 08:13

★

(а) Число способов разложить 5 карточек (0, 1, 2, 3, 4) в ряд есть просто число перестановок из 5 различных элементов:
$5! \;=\; 120.$

(б) Чтобы карточки образовали пятизначное число, первая из пяти цифр не должна быть 0. Тогда:
• на первую позицию можно поставить любую из четырёх цифр 1, 2, 3, 4,
• оставшиеся 4 позиции заполняются оставшимися 4 цифрами в любом порядке (4!).
Итого:
$4 \times 4! \;=\; 4 \times 24 \;=\; 96.$

(в) Требуется, чтобы в случайной раскладке чётные и нечётные цифры шли попеременно. Из данных цифр три чётные (0, 2, 4) и две нечётные (1, 3). Единственно возможный «чередующийся» шаблон длины 5 с тремя чётными и двумя нечётными:
E O E O E,
где E – чётная, O – нечётная. Разместить 3 чётные цифры на местах E можно 3! способами, а 2 нечётные на местах O – 2! способами. Итого
$3!\times2!=6\times2=12$
подходящих раскладок из всех $5!\! = 120$. Следовательно, вероятность:
$\frac{12}{120} \;=\;\frac{1}{10}.$

(г) Число делящихся на 4 пятизначных «перестановок» определяется тем, что последние две цифры должны образовывать двузначное число, кратное 4. Перебирая все пары из $\{0,1,2,3,4\}$, получаем 6 подходящих пар на концовке (т.~е. в разряде десятков и единиц):
(0, 4), (1, 2), (2, 0), (2, 4), (3, 2), (4, 0).

Для каждой такой пары считаем, сколько способов расставить оставшиеся три карточки в первые три разряда так, чтобы первая из них не была 0. Оказывается, если среди оставшихся трёх цифр есть 0, то способов 4, иначе 6. Подставляя конкретные пары и смотря, где в «остатке» появляется 0, суммарно получаем 30 таких пятизначных чисел.