Задача 79479 Треугольник задан вершинами А ( 4; 8), В...
Условие
Найти:
Уравнение прямой АМ , параллельной стороне ВС
Уравнение медианы AD
Уравнение высоты BF
Угол В
Решение
A(4; 8), B(2; −10), C(−6; −2).
1) Прямая AM, параллельная BC.
Сначала найдём угловой коэффициент (наклон) стороны BC.
Сторона BC:
B(2; −10), C(−6; −2).
Угловой коэффициент:
k(BC) = (yC − yB) / (xC − xB)
= (−2 − (−10)) / (−6 − 2)
= 8 / (−8)
= −1.
Искомая прямая должна проходить через точку A(4; 8) и иметь тот же наклон −1.
Запишем в виде
y − 8 = −1 (x − 4)
⇒ y − 8 = −x + 4
⇒ y = −x + 12.
В «общем» виде уравнение можно переписать как
x + y − 12 = 0.
2) Медиана AD.
Точка D — середина отрезка BC. Чтобы найти её координаты, усредняем координаты B и C:
D ( (2 + (−6))/2 ; (−10 + (−2))/2 )
= (−4/2 ; −12/2 )
= (−2 ; −6 ).
Медиана AD проходит через A(4; 8) и D(−2; −6). Её наклон:
k(AD) = (−6 − 8)/(−2 − 4) = (−14)/(−6) = 7/3.
Уравнение в виде точка–наклон:
y − 8 = (7/3)(x − 4).
Умножая на 3:
3(y − 8) = 7(x − 4)
⇒ 3y − 24 = 7x − 28
⇒ 3y = 7x − 4
⇒ 7x − 3y − 4 = 0.
3) Высота BF.
Высота BF из точки B должна быть перпендикулярна стороне AC.
Сначала найдём наклон AC:
A(4; 8), C(−6; −2).
k(AC) = (−2 − 8)/(−6 − 4) = (−10)/(−10) = 1.
Перпендикулярный наклон есть минус обратный, то есть −1. Ищем прямую через B(2; −10) с наклоном −1:
y − (−10) = −1(x − 2)
⇒ y + 10 = −x + 2
⇒ y = −x − 8
или в общем виде
x + y + 8 = 0.
4) Угол B.
Угол B — это угол между векторами BA и BC:
• BA = A − B = (4 − 2; 8 − (−10)) = (2; 18).
• BC = C − B = (−6 − 2; −2 − (−10)) = (−8; 8).
Скалярное произведение:
BA · BC = 2 · (−8) + 18 · 8 = −16 + 144 = 128.
Длины векторов:
|BA| = √(2² + 18²) = √(4 + 324) = √328 = 2√82,
|BC| = √((−8)² + 8²) = √(64 + 64) = √128 = 8√2.
Тогда
cos B = (BA · BC)/(|BA| ⋅ |BC|) = 128 / (2√82 · 8√2) = 128 / (16 √164).
Но √164 = 2√41, значит знаменатель = 16 · 2√41 = 32√41.
Итого
cos B = 128 / (32√41) = 4 / √41.