Задача 79478 Разложить в ряд тейлора функцию y=sin(x)...

6762791181699f399ffe4cba

18 декабря 2024 г. в 07:27

Разложить в ряд тейлора функцию y=sin(x) +cos(x)

5f282cfba9074b3a3bc0f013

5 марта 2025 г. в 08:24

★

1) Рассмотрим по отдельности ряды Тейлора для sin(x) и cos(x):

• sin(x) = ∑ (n=0→∞) [(–1)ⁿ × x²ⁿ⁺¹] / (2n+1)!
то есть sin(x) = x – x³/3! + x⁵/5! – x⁷/7! + …

• cos(x) = ∑ (n=0→∞) [(–1)ⁿ × x²ⁿ] / (2n)!
то есть cos(x) = 1 – x²/2! + x⁴/4! – x⁶/6! + …

2) При сложении этих рядов получаем:

sin(x) + cos(x) = ∑ (n=0→∞) [(–1)ⁿ × x²ⁿ⁺¹] / (2n+1)! + ∑ (n=0→∞) [(–1)ⁿ × x²ⁿ] / (2n)!

3) Если выписать первые несколько слагаемых в совокупном виде:

sin(x) + cos(x) = 1
+ x
– x²/2!
– x³/3!
+ x⁴/4!
+ x⁵/5!
– x⁶/6!
– x⁷/7!
+ x⁸/8! + …