Задача 79430 19. На доске написано несколько (более...

5f282cfba9074b3a3bc0f013

2 марта 2025 г. в 01:59

19. На доске написано несколько (более одного) попарно различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в три раза.

А) Может ли на доске быть 5 чисел, сумма которых равна 47?
Б) Может ли на доске быть 10 чисел, сумма которых равна 94?
В) Сколько может быть чисел на доске, если их произведение равно 8000?

Источник: alexlarin.net, вариант 493

626fab9a354ab65fb2f43abb

2 марта 2025 г. в 03:20

★

Если любые два числа отличаются не более чем в 3 раза, то можно взять самое большое и самое маленькое.
Обозначим самое маленькое n = x, тогда самое большое N <= 3x.
а) Нам нужно 5 чисел, сумма которых равна 47.
Попробуем подобрать такой набор чисел, чтобы наименьшее и наибольшее отличались не более чем в 3 раза.
Нам нужно 5 различных чисел, значит, разность между наибольшим и наименьшим должна быть не меньше 4.
Если мы начнем с 2, то должны закончить на 6
2+3+4+5+6 = 20 – это тоже не подходит и это ровно 5 чисел.
Если мы начнем с 3, то должны закончить на 9 или меньше.
3+6+7+8+9 = 33 – это тоже не подходит.
Если мы начнем с 4, то должны закончить на 12 или меньше.
4+9+10+11+12 = 46 – это тоже не подходит.
Начинам с 5 и должны закончить на 15 или меньше.
5 + 6 + 7 + 14 + 15 = 47
Ответ: ДА, может.

б) Нам нужно 10 чисел, сумма которых равна 94.
Попробуем подобрать такой набор чисел, чтобы наименьшее и наибольшее отличались не более чем в 3 раза.
Нам нужно, чтобы разность между меньшим и большим была не меньше 9, потому что у нас 10 чисел, и при этом чтобы частное большего и меньшего было не больше 3.
Если мы начнем с 4, то должны закончить на 12 или меньше.
Но от 4 до 12 только 9 чисел, поэтому это не подходит.
Начинаем с 5:
5+6+7+8+9+10+11+12+13+14 = 95
И мы использовали ровно 10 чисел. Значит, сумму 94 получить нельзя.
Ответ: НЕТ, не может.

в) Разложим 8000 на множители:
8000 = 8·1000 = 2⁶·5³
Наибольший множитель должен отличаться от наименьшего не более чем в 3 раза.
Поэтому можно написать 2 множителя:
8000 = 64·125. Это 2 множителя.
Если мы используем множитель 25, то 8 использовать уже нельзя, потому что:
8·3 = 24 < 25
Значит, если есть 25, то наименьший множитель должен быть 10 или 16:
8000 = 10·25·32 – не подходит, 10·3 = 30 < 32.
8000 = 16·20·25 – подходит. Это 3 множителя.
Я не смог найти других разложений, чтобы все множители были разные и при этом чтобы наибольший множитель отличался от наименьшего не более чем в 3 раза.
Может быть, кто–то найдет пример с 4 множителями.

Ответ: 2 или 3 множителя.