Задача 79417 ...

Ritta

28 февраля 2025 г. в 06:19

125. Найти неопределённый интеграл, используя универсальную тригонометрическую подстановку.

∫(cos x – sin x)dx
(1 + sin x)²

Удачник66

2 марта 2025 г. в 07:26

★

$\int \sin^2 3x \sin 4x dx$
Через универсальную подстановку я не знаю, как это сделать.
Воспользуемся формулами перевода произведения в сумму:
sin a·sin b = 0,5·(cos(a – b) – cos(a + b))
sin a·cos b = 0,5·(sin(a – b) + sin(a + b))
Получаем:
sin² 3x·sin 4x = sin 3x·sin 3x·sin 4x = sin 3x·0,5(cos x – cos 7x) =
= 0,5(sin 3x·cos x–sin 3x·cos 7x) = 0,5[0,5(sin 2x+sin 4x)+0,5(sin(–4x)+sin 10x)] =
= 1/4·(sin 2x + sin 4x – sin 4x + sin 10x) = 1/4·(sin 2x + sin 10x)

$\int \sin^2 3x \sin 4x dx = \int \frac{1}{4}(\sin 2x + \sin 10x) dx =$
$=\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}(-\cos 2x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{10}(-\cos 10x) + C =$
$= -\frac{1}{8} \cos 2x - \frac{1}{40} \cos 10x + C$

125. $\int \frac{\cos x - \sin x}{(1 + \sin x)^2} dx$
Универсальная тригонометрическая подстановка.
t = tg(x/2); sin x = 2t/(1+t²); cos x = (1–t²)/(1+t²); dx = 2dt/(1+t²)
$\cos x - \sin x = \frac{1-t^2}{1+t^2} - \frac{2t}{1+t^2} = \frac{1-2t-t^2}{1+t^2}$
$1 + \sin x = \frac{1+t^2}{1+t^2} + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{1+2t+t^2}{1+t^2}$
Подставляем:
$\int \frac{\cos x - \sin x}{(1 + \sin x)^2} dx = \int \frac{1-2t-t^2}{1+t^2} : (\frac{1+2t+t^2}{1+t^2})^2 \cdot \frac{2dt}{1+t^2} =$
$= 2\int \frac{(1-2t-t^2)(1+t^2)^2}{(1+2t+t^2)^2(1+t^2)^2} dt= 2\int \frac{1-2t-t^2}{(1+2t+t^2)^2} dt =$
$= -2\int \frac{-1+2t+t^2}{(1+2t+t^2)^2} dt = -2\int \frac{-2+1+2t+t^2}{(1+2t+t^2)^2} dt$
Замена: 1 + 2t + t² = (1 + t)² = z; dz = 2(1 + t)dt = 2√zdt; dt = dz/(2√z)
$-2\int \frac{-2+1+2t+t^2}{(1+2t+t^2)^2} dt = -2\int \frac{-2+z}{z^2} \frac{dz}{2 \sqrt{z}}= -\int \frac{-2+z}{z^2\sqrt{z}} dz =$
$= -\int \frac{-2+z}{z^{2,5}} dz = \int 2z^{-2,5} dz - \int z^{-1,5} dz =$
$= \frac{2z^{-1,5}}{(-1,5)} - \frac{z^{-0,5}}{-0,5} + C = -\frac{4}{3}z^{-3/2} + 2z^{-1/2} + C =$
$= -\frac{4}{3}((1 + t)^2)^{-3/2} + 2((1 + t)^2)^{-1/2} + C = -\frac{4}{3(1 + t)^3} + \frac{2}{1 + t} + C=$
$= -\frac{4}{3(1 + tg(x/2))^3} + \frac{2}{1 + tg(x/2)} + C$