Задача 79416 145. Найти неопределённый интеграл,...
Условие
[m]\int \frac{x^2 - 1}{x^4} dx[/m]
Решение
Вычисляем методом по частям:
u = sqrt(x^2-1); dv = dx/x^4 = x^(-4) dx;
du = x/sqrt(x^2-1) dx; v = 1/(-3)*x^(-3) = -1/(3x^3)
[m]\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4} dx = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \int \frac{1}{3x^3} \frac{xdx}{\sqrt{x^2-1}} = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}} [/m]
Тригонометрическая подстановка:
x = 1/cos t; cos t = 1/x; t = arccos(1/x)
dx = (0-cos' t)/cos^2 t dt = sin t/cos^2 t dt
sqrt(x^2 - 1) = sqrt(1/cos^2 t - 1) = sqrt((1 - cos^2 t)/cos^2 t) = sqrt(tg^2 t) = tg t
Подставляем во второй интеграл:
[m]-\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}} = [/m]
[m]= -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{\sin t}{\cos^2 t} \frac{\cos^2 t}{tg(t)}dt = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{\sin t}{tg(t)}dt = [/m]
[m]= -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \cos t dt = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \sin t + C = [/m]
[m]-\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \sin(arccos(1/x)) + C[/m]
Нетрудно доказать, что:
sin (arccos (1/x)) = sqrt(x^2-1)/x
Поэтому интеграл равен:
[m]-\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{3x} + C = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}) + C =[/m]
[m]= -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3} \frac{x^2-1}{x^3} + C= -\frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x^3} + C[/m]