Задача 79416 145. Найти неопределённый интеграл,...

Ritta

28 февраля 2025 г. в 06:18

145. Найти неопределённый интеграл, используя тригонометрические подстановки.

[m]\int \frac{x^2 - 1}{x^4} dx[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

2 марта 2025 г. в 08:32

★

145. [m]\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4} dx[/m]
Вычисляем методом по частям:
u = √x²–1; dv = dx/x⁴ = x^–4 dx;
du = x/√x²–1 dx; v = 1/(–3)·x^–3 = –1/(3x³)
[m]\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4} dx = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \int \frac{1}{3x^3} \frac{xdx}{\sqrt{x^2-1}} = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}} [/m]
Тригонометрическая подстановка:
x = 1/cos t; cos t = 1/x; t = arccos(1/x)
dx = (0–cos' t)/cos² t dt = sin t/cos² t dt
√x² – 1 = √1/cos² t – 1 = √(1 – cos² t)/cos² t = √tg² t = tg t
Подставляем во второй интеграл:
[m]-\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-1}} = [/m]
[m]= -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{\sin t}{\cos^2 t} \frac{\cos^2 t}{tg(t)}dt = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \frac{\sin t}{tg(t)}dt = [/m]
[m]= -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \int \cos t dt = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \sin t + C = [/m]
[m]-\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{1}{3} \sin(arccos(1/x)) + C[/m]
Нетрудно доказать, что:
sin (arccos (1/x)) = √x²–1/x
Поэтому интеграл равен:
[m]-\frac{\sqrt{x^2-1}}{3x^3} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{3x} + C = -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}) + C =[/m]
[m]= -\frac{\sqrt{x^2-1}}{3} \frac{x^2-1}{x^3} + C= -\frac{(x^2-1)^{3/2}}{3x^3} + C[/m]