Задача 79355 Найти площадь треугольника АВС и длину...

Дима_680236665

13 января 2025 г. в 09:07

Найти площадь треугольника АВС и длину его высоты, опущенной из т. С.
A(0; 1; 2), B(–1; 0; 1), C(1; –1; –1).

admin

24 февраля 2025 г. в 02:14

★

1) Сначала найдём векторы AB и AC:
• A = (0, 1, 2), B = (–1, 0, 1), C = (1, –1, –1).
• AB = B – A = (–1 – 0, 0 – 1, 1 – 2) = (–1, –1, –1).
• AC = C – A = (1 – 0, –1 – 1, –1 – 2) = (1, –2, –3).

2) Вычислим векторное произведение AB × AC. По формуле
(x₁, y₁, z₁) × (x₂, y₂, z₂) = (y₁z₂ – z₁y₂, z₁x₂ – x₁z₂, x₁y₂ – y₁x₂)
получаем:
AB × AC = (–1, –1, –1) × (1, –2, –3) = (1, –4, 1).

3) Найдём модуль этого векторного произведения:
|AB × AC| = √(1² + (–4)² + 1²) = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2.

4) Площадь треугольника ABC равна половине модуля векторного произведения:
S = ½ · |AB × AC| = ½ · 3√2 = (3√2) / 2.

5) Чтобы найти высоту h, опущенную из вершины C, возьмём сторону AB за основание:
• длина основания |AB| = √( (–1)² + (–1)² + (–1)² ) = √3,
• из формулы для площади треугольника (S = ½ · основание · высота) получаем:
h = (2S) / |AB| = (2 · (3√2 / 2)) / √3 = (3√2) / √3.

Упростим это выражение:
(3√2) / √3 = 3 · (√2 / √3) = 3√(2/3) = √6.

Ответ:
• Площадь треугольника ABC: (3√2) / 2.
• Длина высоты из точки C: √6.