Задача 79354 32. Определить диагональ правильной...

serhick

22 декабря 2024 г. в 12:24

32. Определить диагональ правильной четырехугольной призмы, если диагональ основания равна 8см, а диагональ боковой грани равна 7 см.

admin

24 февраля 2025 г. в 02:17

★

Пусть сторона основания призмы равна a, тогда по условию диагональ основания a√2 равна 8 см. Отсюда
a√2 = 8 ⇒ a = 8/√2 = 4√2.

Диагональ боковой грани равна 7 см. Боковая грань – это прямоугольник со сторонами a и h (высота призмы). Тогда
√(a² + h²) = 7.
Подставляя a = 4√2, получаем:
√((4√2)² + h²) = 7 ⇒ √(32 + h²) = 7 ⇒ 32 + h² = 49 ⇒ h² = 17 ⇒ h = √17.

Нам нужна пространственная диагональ призмы (расстояние между «противоположными» вершинами). Её можно найти, рассматривая треугольник, в котором одним катетом является диагональ основания (8 см), а другим – высота призмы (√17). Тогда искомая диагональ d равна
d = √(8² + (√17)²) = √(64 + 17) = √81 = 9.

Ответ: 9 см.