Задача 79342 Мяч брошен под углом 30 градусов к...
Условие
Определить
1скорость мяча через 6 секунд после начала полета
2координаты мяча через 6 секунд после начала полета
3полное время полета
4макс.дальность полета
5макс.высоту полета
Решение
1) Определим проекции начальной скорости:
v₀ₓ = v₀·cos(α),
v₀ᵧ = v₀·sin(α).
Для α = 30°:
cos(30°) = √3/2 ≈ 0,866, sin(30°) = 1/2.
Отсюда:
v₀ₓ = 58 × 0,866 ≈ 50,23 м/с,
v₀ᵧ = 58 × 0,5 = 29 м/с.
2) Скорость мяча через 6 секунд после начала полёта
Горизонтальная составляющая скорости с течением времени не меняется (сопротивление воздуха не учитывается):
vₓ(t) = v₀ₓ = 50,23 м/с.
Вертикальная составляющая скорости:
vᵧ(t) = v₀ᵧ – g·t = 29 – 9,8·t.
При t = 6 c:
vᵧ(6) = 29 – 9,8 × 6 = 29 – 58,8 = –29,8 м/с.
Полная скорость (по модулю) есть
v(6) = √(vₓ(6)² + vᵧ(6)²) = √(50,23² + (–29,8)²).
Вычисляя:
50,23² ≈ 2523, 29,8² ≈ 888,04, сумма ≈ 3411,04.
v(6) ≈ √3411,04 ≈ 58,4 м/с.
3) Координаты мяча через 6 секунд
Координата x(t):
x(t) = v₀ₓ·t = 50,23·t.
При t = 6 c:
x(6) = 50,23 × 6 ≈ 301,4 м.
Координата y(t):
y(t) = v₀ᵧ·t – (g·t²)/2 = 29·t – 4,9·t².
При t = 6 c:
y(6) = 29 × 6 – 4,9 × 6²
= 174 – 4,9 × 36
= 174 – 176,4
= –2,4 м.
С точки зрения «чистой» кинематики мяч оказывается ниже уровня броска, то есть формально для t = 6 с он уже «пролетел» бы ниже земли (если считать, что бросок происходил с y = 0). Физически при y(t) ≤ 0 мяч уже приземлился.
4) Полное время полёта
Если предполагается приземление на том же уровне (y=0) без учёта сопротивления воздуха, общее время полёта определяется формулой
T = 2·(v₀ᵧ) / g = 2·(v₀·sin(α)) / g.
Подставляя:
v₀ᵧ = 29 м/с, g = 9,8 м/с².
T = 2·29 / 9,8 ≈ 5,92 с.
5) Максимальная дальность полёта
Для броска с земли и приземления на ту же высоту максимальная дальность R:
R = v₀ₓ · T = (v₀·cos(α)) · (2·v₀·sin(α) / g),
или более известная формула
R = (v₀²⋅sin(2α)) / g.
Так как α = 30°, то 2α = 60° и sin(60°) = √3/2 ≈ 0,866.
Вычислим по формуле:
R = (58² × 0,866) / 9,8
= (3364 × 0,866) / 9,8
≈ 2911,2 / 9,8
≈ 297 м.
6) Максимальная высота полёта
Максимальная высота H достигается в момент, когда вертикальная скорость становится равной нулю. Формула:
H = (v₀ᵧ)² / (2g) = (v₀·sin(α))² / (2g).
Подставляя v₀ᵧ = 29 м/с:
H = 29² / (2 × 9,8) = 841 / 19,6 ≈ 42,9 м.
Итоговые ответы:
1) Cкорость мяча через 6 с (по модулю):
v(6) ≈ 58,4 м/с.
2) Координаты мяча через 6 с (теоретически, не учитывая приземление):
x(6) ≈ 301,4 м,
y(6) ≈ –2,4 м.
(Фактически мяч приземлится раньше – примерно в момент t ≈ 5,92 с.)
3) Полное время полёта:
T ≈ 5,92 с.
4) Максимальная дальность полёта (при приземлении на том же уровне):
R ≈ 297 м.
5) Максимальная высота полёта:
H ≈ 42,9 м.