Задача 79333 ...

6182340a3d5d7c0560db11d7

2/18/2025 4:37:43 AM

Углы при вершине B и C выпуклого 4х–угольника ABCD прямые, а синус угла D равен 4/√17. При этом известно, что сторона BC вдвое длиннее стороны AB и на 5см — стороны CD. Найти площадь этого четырёхугольника.

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/18/2025 8:15:26 AM

★

Смотрите рисунок.
Этот 4-угольник - прямоугольная трапеция.
Обозначим стороны: AB = a, CD = b, BC = h.
Проведем дополнительную высоту AM = BC = h.
Расстояние MD = x
По условиям:
{ h = 2a
{ h = b + 5
{ x = b - a
{ sin D = 4/sqrt(17)
Из 1 и 2 уравнений получаем:
b + 5 = 2a
b = 2a - 5
Из 3 уравнения:
x = b - a = 2a - 5 - a = a - 5
Из треугольника ADM:
AD^2 = AM^2 + MD^2 = h^2 + x^2
AD^2 = (2a)^2 + (a-5)^2 = 4a^2 + a^2 - 10a + 25 = 5a^2 - 10a + 25
AD = sqrt(5a^2 - 10a + 25)
[m]\large \sin D = \frac{AM}{AD} = \frac{2a}{\sqrt{5a^2 - 10a + 25}} = \frac{4}{\sqrt{17}}[/m]
Отсюда:
[m]2a \cdot \sqrt{17} = 4\sqrt{5a^2 - 10a + 25}[/m]
[m]a \cdot \sqrt{17} = 2\sqrt{5a^2 - 10a + 25}[/m]
Возводим в квадрат обе части:
17a^2 = 4(5a^2 - 10a + 25)
17a^2 = 20a^2 - 40a + 100
3a^2 - 40a + 100 = 0
D/4 = (-20)^2 - 3*100 = 400 - 300 = 100 = 10^2
a1 = (20 - 10)/3 = 10/3; x = a - 5 = 10/3 - 5 = -5/3 < 0 - не подходит.
a2 = (20 + 10)/3 = 30/3 = 10 - подходит.
h = 2a = 20; b = 2a - 5 = 20 - 5 = 15; x = a - 5 = 5

Площадь трапеции:
S = (a + b)*h/2 = (10 + 15)*20/2 = 25*10 = 250