Задача 79333 ...

rruuAP

18 февраля 2025 г. в 04:37

Углы при вершине B и C выпуклого 4х–угольника ABCD прямые, а синус угла D равен 4/√17. При этом известно, что сторона BC вдвое длиннее стороны AB и на 5см — стороны CD. Найти площадь этого четырёхугольника.

Удачник66

18 февраля 2025 г. в 08:15

★

Смотрите рисунок.
Этот 4–угольник – прямоугольная трапеция.
Обозначим стороны: AB = a, CD = b, BC = h.
Проведем дополнительную высоту AM = BC = h.
Расстояние MD = x
По условиям:
{ h = 2a
{ h = b + 5
{ x = b – a
{ sin D = 4/√17
Из 1 и 2 уравнений получаем:
b + 5 = 2a
b = 2a – 5
Из 3 уравнения:
x = b – a = 2a – 5 – a = a – 5
Из треугольника ADM:
AD² = AM² + MD² = h² + x²
AD² = (2a)² + (a–5)² = 4a² + a² – 10a + 25 = 5a² – 10a + 25
AD = √5a² – 10a + 25
$\large \sin D = \frac{AM}{AD} = \frac{2a}{\sqrt{5a^2 - 10a + 25}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$
Отсюда:
$2a \cdot \sqrt{17} = 4\sqrt{5a^2 - 10a + 25}$
$a \cdot \sqrt{17} = 2\sqrt{5a^2 - 10a + 25}$
Возводим в квадрат обе части:
17a² = 4(5a² – 10a + 25)
17a² = 20a² – 40a + 100
3a² – 40a + 100 = 0
D/4 = (–20)² – 3·100 = 400 – 300 = 100 = 10²
a1 = (20 – 10)/3 = 10/3; x = a – 5 = 10/3 – 5 = –5/3 < 0 – не подходит.
a2 = (20 + 10)/3 = 30/3 = 10 – подходит.
h = 2a = 20; b = 2a – 5 = 20 – 5 = 15; x = a – 5 = 5

Площадь трапеции:
S = (a + b)·h/2 = (10 + 15)·20/2 = 25·10 = 250