Задача 79298 дан куб abcda1b1c1d1 найдите синус угла...

67ab1b65f2326836aacaeed5

2/11/2025 9:42:48 AM

дан куб abcda1b1c1d1 найдите синус угла между прямой bd1 и плоскостью abcd

5f282cfba9074b3a3bc0f013

2/14/2025 12:36:24 PM

★

Рассмотрим куб с длиной ребра a и выберем систему координат так, чтобы
A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (a, a, 0), D = (0, a, 0),
A₁ = (0, 0, a), B₁ = (a, 0, a), C₁ = (a, a, a), D₁ = (0, a, a).

Тогда вектор BD₁ = D₁ – B = (0 – a, a – 0, a – 0) = (–a, a, a).

Нормаль к плоскости ABCD (нижняя грань куба) есть вектор n = (0, 0, 1).

Пусть φ – угол между вектором BD₁ и нормалью n. Тогда косинус этого угла:
cos(φ) = (BD₁ ⋅ n) / (|BD₁| · |n|).

Скалярное произведение:
BD₁ ⋅ n = (–a, a, a) ⋅ (0, 0, 1) = 0 + 0 + a = a.

Модуль вектора BD₁:
|BD₁| = √( (–a)² + a² + a² ) = √(3a²) = a√3.

Модуль вектора n равен 1. Следовательно:
cos(φ) = a / (a√3) = 1 / √3.

Угол между прямой BD₁ и плоскостью ABCD равен θ = 90° – φ, и потому
sin(θ) = cos(φ) = 1 / √3.

Ответ: sin(θ) = 1 / √3.