Задача 79288 Три числа являются первым, вторым и...

ввыфыыф

10 февраля 2025 г. в 09:53

Три числа являются первым, вторым и третьим членами возрастающей
арифметической прогрессии и, соответственно, первым, третьим и вторым членами
геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что сумма квадрата
первого из них, удвоенного второго и утроенного третьего равна 3/4

Удачник66

10 февраля 2025 г. в 09:18

★

Обозначим эти числа как члены арифметической прогрессии.
a1; a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d
И они же являются 1, 3 и 2 членами геометрической прогрессии.
b1 = a1; b2 = a3 = a1 + 2d = a1·q; b3 = a1 + d = a1·q²
Также известно:
a1² + 2·a2 + 3·a3 = 3/4
a1² + 2(a1 + d) + 3(a1 + 2d) = 3/4
4a1² + 8·a1 + 8d + 12·a1 + 24d – 3 = 0
4a1² + 20·a1 + 32d – 3 = 0
d = (3 – 4a1² – 20·a1)/32

a2 = a1 + (3 – 4a1² – 20·a1)/32 = (3 – 4a1² + 12·a1)/32
a3 = a1 + 2·(3 – 4a1² – 20·a1)/32 = (3 – 4a1² – 4·a1)/16

При этом:
a3 = a1·q
a2 = a1·q²
Получаем:
{ (3 – 4a1² + 12·a1)/32 = a1·q²
{ (3 – 4a1² – 4·a1)/16 = a1·q
Это уже система 2 уравнений с 2 неизвестными, которую можно решить.
{ 3 – 4a1² + 12·a1 = 32·a1·q²
{ 3 – 4a1² – 4·a1 = 16·a1·q
Умножаем 2 уравнение на –1:
{ 3 – 4a1² + 12·a1 = 32·a1·q²
{ –3 + 4a1² + 4·a1 = –16·a1·q
Складываем уравнения:
16·a1 = 32·a1·q² – 16·a1·q
Сокращаем на 16·a1:
2q² – q = 1
2q² – q – 1 = 0
(q – 1)(2q + 1) = 0
q = 1 – в этом случае не будет геометрической прогрессии, все члены равны.
q = –1/2 – это подходит.
Подставляем в 1 уравнение системы:
(3 – 4a1² + 12·a1)/32 = a1·q²
3 – 4a1² + 12·a1 = 32·a1·1/4
3 – 4a1² + 12·a1 = 8a1
3 – 4a1² + 4·a1 = 0
4a1² – 4a1 – 3 = 0
D/4 = (–2)² – 4(–3) = 4 = 12 = 16 = 4²
a1(1) = (2 – 4)/4 = –2/4 = –1/2
a1(2) = (2 + 4)/4 = 6/4 = 3/2

Получили 2 варианта:
1) a1 = –1/2; q = –1/2
[m]d = \frac{3 - 4a1^2 - 20a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 1/4 - 20(-1/2)}{32} = \frac{3 - 1 + 10}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}[/m]
[m]a2 = \frac{3 - 4a1^2 + 12a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 1/4 + 12(-1/2)}{32} = \frac{3 - 1 - 6}{32} = -\frac{4}{32} = -\frac{1}{8}[/m]
[m]a3 = \frac{3 - 4a1^2 - 4a1}{16} = \frac{3 - 4 \cdot 1/4 - 4(-1/2)}{16} = \frac{3 - 1 + 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}[/m]

2) a1 = 3/2; q = –1/2
[m]d = \frac{3 - 4a1^2 - 20a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 9/4 - 20 \cdot 3/2}{32} = \frac{3 - 9 - 30}{32} = \frac{-36}{32} = -\frac{9}{8}[/m]
[m]a2 = \frac{3 - 4a1^2 + 12a1}{32} = \frac{3 - 4 \cdot 9/4 + 12 \cdot 3/2}{32} = \frac{3 - 9 + 18}{32} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}[/m]
[m]a3 = \frac{3 - 4a1^2 - 4a1}{16} = \frac{3 - 4 \cdot 9/4 - 4 \cdot 3/2}{16} = \frac{3 - 9 - 6}{16} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}[/m]
Однако, эта прогрессия получилась убывающая.

Ответ: 1) a1 = –1/2; a2 = –1/8; a3 = 1/4