Задача 79253 ...
Условие
1) Область определения
2) Вид функции
3) Интервалы знаков постоянства
4) поведения на границе области определения
5) точки экстремума
6) промежутки выпуклости
Решение
1) Область определения
Тут все просто, функция f(x) = –x³+3x–2 - это многочлен третьей степени. А многочлены, как мы знаем, определены для всех действительных чисел. Так что область определения: x ∈ (-∞; +∞).
2) Вид функции
Функция у нас кубическая, ну или многочлен третьей степени. График таких функций обычно похож на волну, которая может то возрастать, то убывать.
3) Интервалы знакопостоянства
Чтобы понять, где функция положительная, а где отрицательная, нужно решить неравенства f(x) > 0 и f(x) < 0.
* f(x) > 0: –x³+3x–2 > 0
* f(x) < 0: –x³+3x–2 < 0
Тут, конечно, можно и попотеть, если решать "в лоб". Но мы можем заметить, что:
* f(-2) = -(-2)³ + 3(-2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0
* f(1) = -1³ + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
Получается, что x = -2 и x = 1 - это корни уравнения f(x) = 0.
Метод интервалов нам в помощь:
* f(x) > 0 при x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞)
* f(x) < 0 при x ∈ (-2; 1)
4) Поведение на границе области определения
Тут у нас "проблемка" - область определения-то у нас вся числовая прямая, границ нет. Но мы можем посмотреть, как функция себя ведет при x → -∞ и x → +∞:
* При x → -∞: f(x) → +∞
* При x → +∞: f(x) → -∞
5) Точки экстремума
Чтобы найти "горбы" и "впадины" графика, берем производную и приравниваем ее к нулю:
f'(x) = -3x² + 3
f'(x) = 0 => -3x² + 3 = 0 => x² = 1 => x = ±1
Проверяем знаки производной:
* f'(-2) = -3(-2)² + 3 = -9 < 0
* f'(0) = -3(0)² + 3 = 3 > 0
* f'(2) = -3(2)² + 3 = -9 < 0
Получается:
* x = -1 – точка минимума, f(-1) = -(-1)³ + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4
* x = 1 – точка максимума, f(1) = -1³ + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0
6) Промежутки выпуклости
Тут нам нужна вторая производная:
f''(x) = -6x
Смотрим на знак:
* f''(-1) = -6(-1) = 6 > 0 (функция выпукла вниз)
* f''(1) = -6(1) = -6 < 0 (функция выпукла вверх)
Итог:
* f(x) выпукла вниз на интервале (-∞; 0)
* f(x) выпукла вверх на интервале (0; +∞)
Вроде все, надеюсь, понятно! !