Задача 79250 ...

5f4e19cc6a894c0287cf31f4

2/4/2025 5:52:30 PM

4. (а) Решите неравенство 212 + 2 < 5. 5 (Ь) Решите неравенство — —- < 1. -3 : 5 (¢) Решите перавенство — < 1, где й — иекоторое известное число. . (а) Найдите все такие значения Ь, при которых все решения nepapenctea 222 + 2 < 5 5 5 являются также решеннями неравенства — < 1. т

626fab9a354ab65fb2f43abb

2/5/2025 12:24:13 PM

★

а) 2x^2 + 2 ≤ 5x
2x^2 - 5x + 2 ≤ 0
D = 5^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9 = 3^2
x1 = (5 - 3)/4 = 2/4 = 0,5
x2 = (5 + 3)/4 = 8/4 = 2
x ∈ [0,5; 2]

б) [m]\large \frac{5}{x-3} ≤ 1/m]
[m]\large \frac{5}{x-3} - 1 ≤ 0/m]
[m]\large \frac{5 - x + 3}{x-3} ≤ 0/m]
[m]\large \frac{8 - x }{x-3} ≤ 0/m]
Помнем знаки в числителе, чтобы x был с плюсом.
При этом поменяется знак неравенства:
[m]\large \frac{x-8 }{x-3} ≥ 0/m]
x ∈ (-oo; 3) U [8; +oo)

в) [m]\large \frac{5}{x-b} ≤ 1/m]
[m]\large \frac{5}{x-b} - 1 ≤ 0/m]
[m]\large \frac{5 - x + b}{x-b} ≤ 0/m]
[m]\large \frac{b+5 - x }{x-b} ≤ 0/m]
[m]\large \frac{x-(b+5) }{x-b} ≥ 0/m]
x ∈ (-oo; b) U [b+5; +oo)

г) Все решения неравенства 2x^2 + 2 ≤ 5x - это числа [0,5; 2].
Все решения неравенства [m]\large \frac{5}{x-b} ≤ 1/m] это два
промежутка: (-oo; b) U [b+5; +oo)
Нам нужно, чтобы отрезок [0,5; 2] целиком входил или
в промежуток (-oo; b), или в промежуток [b+5; +oo).
Но проще найти, при каких b отрезок лежит между промежутками:
{ b < 0,5
{ b + 5 ≥ 2
Решаем:
{ b < 0,5
{ b ≥ -3
Получаем:
b ∈ [-3; 0,5)
Значит, при всех остальных значениях b отрезок [0,5; 2] лежит внутри одного из промежутков (-oo; b) или [b+5; +oo)
Ответ: b ∈ (-oo; -3) U [0,5; +oo)