Задача 79246 Дана трапеция ABCD AB - 13 BC 4 CD = 20...

Полина_803357593

3 февраля 2025 г. в 03:00

Дана трапеция ABCD AB – 13 BC 4 CD = 20 AD 25 Найдите площадь трапеции

Удачник66

3 февраля 2025 г. в 04:50

★

Трапеция ABCD. AB = 13, BC = 4, CD = 20, AD = 25
Найти ее площадь S(ABCD).

Смотрите рисунок.
Проводим две высоты BM и CN (показаны красным).
h = BM = CN.
Они разбивают основание AD на отрезки:
AM = x, MN = BC = 4, ND = y
Получаем:
x + 4 + y = 25
x + y = 21
y = 21 – x
Наша цель – найти высоту h, тогда мы вычислим площадь.
Из прямоугольных треугольников ABM и CDN по теореме Пифагора:
{ AM² + BM² = AB²
{ ND² + CN² = CD²
Подставляем числа и буквы:
{ x² + h² = 13² = 169
{ y² + h² = 20² = 400
Выразим h² в обоих уравнениях:
{ h² = 169 – x²
{ h² = 400 – (21 – x)²
Левые части одинаковы, значит, и правые части равны:
169 – x² = 400 – (441 – 42x + x²)
169 – x² = 400 – 441 + 42x – x²
169 = –41 + 42x
42x = 210
x = 210 : 42 = 5
y = 21 – x = 21 – 5 = 16
h² = 169 – x² = 169 – 5² = 169 – 25 = 144
h = √144 = 12
Площадь трапеции:
S(ABCD) = (AD + BC)·h/2 = (25 + 4)·12/2 = 29·6 = 174

Ответ: 174