Задача 79234 Боковое ребро правильной четырёхугольной...

679bad44339c2b5e130cffd5

30 января 2025 г. в 04:48

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды образует угол 30 ° с плоскостью основания, найдите площадь полной поверхности пирамиды и объём, если боковое ребро равно 10 см

5f282cfba9074b3a3bc0f013

31 января 2025 г. в 05:59

★

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду с вершиной A, центром основания O и одной из вершин основания B. Пусть:

• a = длина стороны основания,
• h = AO = высота пирамиды,
• OB = расстояние от центра основания до вершины основания,
• AB = 10 см — боковое ребро,
• ∠(AB, плоскость) = 30° — угол между боковым ребром и плоскостью основания.

1) Находим высоту пирамиды h и радиус основания OB

Поскольку угол между ребром AB и плоскостью основания равен 30°, угол между AB и перпендикуляром к этой плоскости (то есть высотой AO) равен 60° (они в сумме дают 90°). В треугольнике AOB:

• ∠AOB = 90° (AO перпендикулярно плоскости основания),
• ∠BAO = 60° (угол между боковым ребром AB и высотой),
• AB = 10 см – гипотенуза этого прямоугольного треугольника.

Тогда (в прямоугольном треугольнике 30°–60°–90°):

1. AO = h = AB · sin 60° = 10 · (√3/2) = 5√3,
однако стоит быть аккуратнее: по условию угол 30° есть угол между линией (AB) и плоскостью,
значит угол между AB и высотой (нормалью к плоскости) = 90° – 30° = 60°.

Однако удобнее воспользоваться классической формулой:
если угол между отрезком и плоскостью равен α, то «вертикальная» составляющая (высота) равна
AB · sin α,
а «горизонтальная» (проекция на плоскость) равна
AB · cos α.

При α = 30°:
h = AO = 10 · sin 30° = 10 · (1/2) = 5.

Следовательно, высота пирамиды h = 5 см.

2. В том же треугольнике AOB (где ∠AOB = 90°) теперь OB = AB · cos 30° = 10 · (√3/2) = 5√3.

Итого:
• высота пирамиды h = 5 см,
• расстояние от центра O основания до вершины B равно OB = 5√3.

2) Находим сторону основания a

Поскольку основание — квадрат со стороной a, то расстояние от его центра O до вершины B есть половина диагонали:
OB = a√2 / 2.

Мы нашли OB = 5√3, значит
5√3 = (a√2) / 2 ⇒ a = (5√3 × 2) / √2 = 10√3 / √2.

Упростим, домножив числитель и знаменатель на √2:
a = (10√3 / √2)·(√2/√2) = 10√6 / 2 = 5√6.

3) Площадь основания

Площадь квадратного основания:
Sосн = a² = (5√6)² = 25 × 6 = 150 см².

4) Площадь боковой поверхности

боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием a = 5√6 и боковыми рёбрами 10. Нам нужна его высота (так называемая апофема боковой грани) AM, где M — середина стороны BC основания.

• OM = a/2 = (5√6)/2.
• AO = 5 входит в прямоугольный треугольник AOM, где
AM² = AO² + OM² = 5² + (5√6/2)².

Вычислим:
(5√6/2)² = 25 × 6 / 4 = 150 / 4 = 37.5.
Тогда
AM = √(25 + 37.5) = √62.5 = √(125/2) = 5√(5/2).

Площадь одной боковой грани:
Sгран = ½ × (основание треугольника) × (высота треугольника)
= ½ × a × AM
= ½ × (5√6) × (5√(5/2))
= (1/2) × 5 × 5 × √6 × √(5/2)
= (25/2) × √(6 × 5/2)
= (25/2) × √15
= 12.5 √15.

Так как граней четыре, суммарная боковая поверхность:
Sбок = 4 × 12.5 √15 = 50√15.

5) Полная площадь поверхности

Sполн = Sосн + Sбок = 150 + 50√15 (см²).

6) Объём пирамиды

Объём правильной пирамиды

V = (1/3) × Sосн × h = (1/3) × 150 × 5 = 250 (см³).

Ответ: 250