Задача 79229 ...

Feya

29 января 2025 г. в 05:27

Решите уравнение 1/sinx–1/cos=2 √2.
Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [–11П/2;–4П]

626fab9a354ab65fb2f43abb

29 января 2025 г. в 08:47

★

а) [m]\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{\cos x} = 2\sqrt{2}[/m]
[m]\frac{\cos x - \sin x}{\sin x \cos x} = 2\sqrt{2}[/m]
[m]\cos x - \sin x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x[/m]
Правая часть:
[m]2\sqrt{2} \sin x \cos x = \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \sin 2x[/m]
Левую часть можно представить так:
[m]\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x) = [/m]
[m]= \sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x)[/m]
Получаем уравнение:
[m]\sqrt{2} \sin 2x = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x)[/m]
Сокращаем √2:
[m]\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{4} - x)[/m]
Так как период синуса равен 2π, то это равенство можно записать в двух вариантах:

1) sin x = sin (x + 2π·n)
2x = π/4 – x + 2π·n, n ∈ Z
x1 = π/4 + 2π·n, n ∈ Z

2) sin x = sin (π – x + 2pi·k)
2x = π – (π/4 – x) + 2π·k, k ∈ Z
2x = π – π/4 + x + 2π·k, k ∈ Z
x2 = 3π/4 + 2π·k, k ∈ Z

б) Корни принадлежащие промежутку [–11π/2; –4π] = [–22π/4; –16π/4]
x = 3π/4 – 6π = (3π – 24π)/4 = –21π/4 ∈ [–22π/4; –16π/4]