Задача 79229 ...
Условие
Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-11П/2;-4П]
Решение
[m]\frac{\cos x - \sin x}{\sin x \cos x} = 2\sqrt{2}[/m]
[m]\cos x - \sin x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x[/m]
Правая часть:
[m]2\sqrt{2} \sin x \cos x = \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \sin 2x[/m]
Левую часть можно представить так:
[m]\cos x - \sin x = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x) = [/m]
[m]= \sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4} \cos x - \cos \frac{\pi}{4} \sin x) = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x)[/m]
Получаем уравнение:
[m]\sqrt{2} \sin 2x = \sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - x)[/m]
Сокращаем sqrt(2):
[m]\sin 2x = \sin(\frac{\pi}{4} - x)[/m]
Так как период синуса равен 2π, то это равенство можно записать в двух вариантах:
1) sin x = sin (x + 2π*n)
2x = π/4 - x + 2π*n, n ∈ Z
[b]x1 = π/4 + 2π*n, n ∈ Z[/b]
2) sin x = sin (π - x + 2pi*k)
2x = π - (π/4 - x) + 2π*k, k ∈ Z
2x = π - π/4 + x + 2π*k, k ∈ Z
[b]x2 = 3π/4 + 2π*k, k ∈ Z[/b]
б) Корни принадлежащие промежутку [-11π/2; -4π] = [-22π/4; -16π/4]
x = 3π/4 - 6π = (3π - 24π)/4 = -21π/4 ∈ [-22π/4; -16π/4]