Задача 79227 дан куб ABCDA1B1C1D1 найдите угол между...

Дмитрий_564554350

28 января 2025 г. в 04:57

дан куб ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямой BD1 и плоскостью ABCD

admin

28 января 2025 г. в 06:47

★

Рассмотрим куб с длиной ребра a и поместим его в прямоугольную систему координат так, чтобы:

• A = (0, 0, 0),
• B = (a, 0, 0),
• C = (a, a, 0),
• D = (0, a, 0),
• A₁ = (0, 0, a),
• B₁ = (a, 0, a),
• C₁ = (a, a, a),
• D₁ = (0, a, a).

Тогда вектор BD₁ = D₁ – B = (0 – a, a – 0, a – 0) = (–a, a, a).
Плоскость ABCD лежит в плоскости z = 0, её нормаль равна n = (0, 0, 1).

1) Сначала найдём угол β между вектором BD₁ и нормалью n:
• Скалярное произведение: BD₁ · n = (–a, a, a)·(0, 0, 1) = a.
• Длины векторов:
|BD₁| = √((–a)² + a² + a²) = √(3a²) = a√3,
|n| = 1.
• Косинус угла β:
cos(β) = (BD₁ · n) / (|BD₁|·|n|) = a / (a√3) = 1 / √3.
Отсюда β = arccos(1 / √3)

2) Угол θ между прямой BD₁ и плоскостью ABCD есть дополняющий к 90° угол:
θ = 90° – β = 90° – arccos(1 / √3).

Пользуясь равенством sin(θ) = cos(β) = 1/√3, получаем
θ = arcsin(1 / √3)