Задача 79224 Решите логарифмическое уравнение...

Penka_99

28 января 2025 г. в 05:31

Решите логарифмическое уравнение

Удачник66

28 января 2025 г. в 01:23

★

$\large \log_{4x} 2 \cdot \log_{x/4} 2 = \log_{x/16} 2$
Есть свойство логарифмов:
$\large \log_{a} b = \frac{1}{\log_b a}$
$\large \frac{1}{\log_2 (4x)} \cdot \frac{1}{\log_2 (x/4)} = \frac{1}{\log_2 (x/16)}$
$\large \frac{1}{\log_2 (4x) \log_2 (x/4)} = \frac{1}{\log_2 (x/16)}$
Дроби равны, числители одинаковы, значит, и знаменатели равны.
$\log_2 (4x) \log_2 (x/4) = \log_2 (x/16)$
$(\log_2 4 + \log_2 x)(\log_2 (1/4) + \log_2 x)= \log_2 x + \log_2 (1/16)$
$(2 + \log_2 x)(-2 + \log_2 x)= \log_2 x - 4$
Замена $y = \log_2 x$
(y + 2)(y – 2) = y – 4
y² – 4 = y – 4
y² = y
y² – y = 0
y1 = 0; [m]\log₂ x = 0[m]
x1 = 1
y2 = 1; [m]\log₂ x = 1[m]
x2 = 2

Ответ: 1; 2