Задача 79215 [b] Нужно решить задания на фото [/b]...
Условие
Решение
Это точка экстремума, но еще нужно найти значения на концах отрезка.
И да, если экстремум окажется за пределами отрезка, то он нам не нужен.
А потом выбрать из этих чисел нужное - наибольшее или наименьшее.
1) [m]y = \ln(x+4)^9 - 9x[/m] на отрезке [-3,5; 0]
Сначала немного преобразуем функцию, чтобы легче брать производную.
[m]y = \ln(x+4)^9 - 9x = 9 \ln(x+4) - 9x[/m]
Значения на концах отрезка:
[m]y(-3,5) = 9 \ln(-3,5+4) - 9(-3,5) ≈ -6,24+31,5 = 25,26[/m]
[m]y(0) = 9 \ln(0+4) - 9 \cdot 0 = 9 \ln 4 + 0 ≈ 12,47 < y(-3,5)[/m]
Берем производную и приравниваем к 0:
[m]y' = \frac{9}{x+4} - 9 = \frac{9 - 9(x+4)}{x+4} = \frac{9 - 9x-36}{x+4} = \frac{- 9x-27}{x+4} = \frac{-9(x+3)}{x+4} = 0[/m]
-9(x + 3) = 0
x = -3 ∈ [-3,5; 0] - подходит.
[m]y(-3) = 9 \ln(-3+4) - 9(-3) = 9 \ln 1 + 27 = 0+27 = 27 > y(-3,5)[/m]
Ответ: y(-3) = 27
2) [m]y = 4 \ln(x+6) - 4x + 3[/m] на отрезке [-5,5; 0]
Тут даже преобразовывать не надо, всё уже готово.
Значения на концах отрезка:
[m]y(-5,5) = 4 \ln(-5,5+6) - 4(-5,5) + 3 ≈ -2,77+25 = 22,23[/m]
[m]y(0) = 4 \ln(0+6) - 4 \cdot 0 + 3 = 4 \ln 6 + 3 ≈ 7,17 + 3 = 10,17< y(-5,5)[/m]
Берем производную и приравниваем к 0.
Дальше всё тоже самое, я не буду это переписывать.
Ответ: y(-5) = 23
3) [m]y = 7x - \ln (7x) + 3[/m] на отрезке [m][\frac{1}{14}; \frac{5}{14}] [/m]
[m]y = 7x - \ln 7 - \ln x + 3[/m]
Значения на концах отрезка:
[m]y(\frac{1}{14}) = \frac{7}{14} - \ln (\frac{7}{14}) + 3 = 0,5 - \ln(0,5)+3 ≈ 4,2[/m]
[m]y(\frac{5}{14}) = \frac{35}{14} - \ln (\frac{35}{14}) + 3 = 2,5 - \ln(2,5)+3 ≈ 4,58 > y(\frac{1}{14}) [/m]
Берем производную и приравниваем к 0.
Дальше всё тоже самое, я не буду это переписывать.
Ответ: y(1/7) = 4
4) [m]y = (20-x) \cdot e^{21-x}[/m] на отрезке [18; 33]
Значения на концах отрезка:
[m]y(18) = (20-18) \cdot e^{21-18} = 2e^3 ≈ 40,17[/m]
[m]y(33) = (20-33) \cdot e^{21-33} = -13e^(-12) ≈ -8 \cdot 10^{-5} < y(18)[/m]
Берем производную и приравниваем к 0.
Вот здесь другой вид функции, решу целиком:
[m]y' = (-1) \cdot e^{21-x} + (20-x) \cdot e^{21-x}(-1) = e^{21-x}(-1-20+x) = 0[/m]
-21 + x = 0
x = 21 ∈ [18; 33] - подходит.
[m]y(21) = (20-21) \cdot e^{21-21} = -1 \cdot e^{0} = -1 < y(33)[/m]
Ответ: y(21) = -1
5) [m]y = (x-4) \cdot e^{5-x}[/m] на отрезке [0,5; 13]
Значения на концах отрезка:
[m]y(0,5) = (0,5-4) \cdot e^{5-0,5} = -3,5e^{4,5} ≈ -315[/m]
[m]y(13) = (13-4) \cdot e^{5-13} = 9e^{-8} ≈ 0,003 > y(0,5)[/m]
Берем производную и приравниваем к 0.
Дальше всё тоже самое, я не буду это переписывать.
Ответ: y(5) = 1
6) [m]y = (3x^2+42x-42) \cdot e^{x+48}[/m] на отрезке [-57; -7]
Значения на концах отрезка:
[m]y(-57) = (3(-57)^2+42(-57)-42) \cdot e^{-57+48} = 9477e^{-9} ≈ 1,17[/m]
[m]y(-7) = (3(-7)^2+42(-7)-42) \cdot e^{-7+48} = -189e^{41} < 0 < y(-57)[/m]
Берем производную и приравниваем к 0.
[m]y' = (6x+42) \cdot e^{x+48} + (3x^2+42x-42) \cdot e^{x+48} =[/m]
[m]= e^{x+48}(6x+42+3x^2+42x-42) = e^{x+48}(3x^2+48x) = 0[/m]
3x^2 + 48x = 0
3x(x + 16) = 0
x1 = 0 ∉ [-57; -7] - не подходит.
x2 = -16 ∈ [-57; -7] - подходит.
[m]y(-16) = (3(-16)^2+42(-16)-42) \cdot e^{-16+48} = 54e^{32} > y(-57)[/m]
Ответ: y(-16) = 54e^(32)
7) [m]y = (x+16)^2 \cdot e^{-x-14}[/m] на отрезке [-15; -13]
Значения на концах отрезка:
[m]y(-15) = (-15+16)^2 \cdot e^{15-14} = 1^2e^{1} = e ≈ 2,718[/m]
[m]y(-13) = (-13+16)^2 \cdot e^{13-14} = 9e^{-1} ≈ 3,31 > y(-15)[/m]
Берем производную и приравниваем к 0.
[m]y' = 2(x+16) \cdot e^{-x-14} + (x^2+32x+256) \cdot e^{-x-14}(-1) =[/m]
[m]= e^{-x-14}(2x+32-x^2-32x-256) = e^{-x-14}(-x^2-30x-224) = 0[/m]
-x^2 - 30x - 224 = 0
Меняем знаки:
x^2 + 30x + 224 = 0
(x + 16)(x + 14) = 0
x1 = -16 ∉ [-15; -13] - не подходит.
x2 = -14 ∈ [-15; -13] - подходит.
[m]y(-14) = (-14+16)^2 \cdot e^{14-14} = 4e^{0} = 4 > y(-13)[/m]
Ответ: y(-14) = 4