Задача 79215 [b] Нужно решить задания на фото [/b]...

ДиКаприо

26 января 2025 г. в 08:56

Нужно решить задания на фото

Удачник66

26 января 2025 г. в 06:41

★

Все эти задания делаются одинаково. Нужно найти точку, в которой y' = 0.
Это точка экстремума, но еще нужно найти значения на концах отрезка.
И да, если экстремум окажется за пределами отрезка, то он нам не нужен.
А потом выбрать из этих чисел нужное – наибольшее или наименьшее.

1) $y = \ln(x+4)^9 - 9x$ на отрезке [–3,5; 0]
Сначала немного преобразуем функцию, чтобы легче брать производную.
$y = \ln(x+4)^9 - 9x = 9 \ln(x+4) - 9x$
Значения на концах отрезка:
$y(-3,5) = 9 \ln(-3,5+4) - 9(-3,5) ≈ -6,24+31,5 = 25,26$
$y(0) = 9 \ln(0+4) - 9 \cdot 0 = 9 \ln 4 + 0 ≈ 12,47 < y(-3,5)$
Берем производную и приравниваем к 0:
$y' = \frac{9}{x+4} - 9 = \frac{9 - 9(x+4)}{x+4} = \frac{9 - 9x-36}{x+4} = \frac{- 9x-27}{x+4} = \frac{-9(x+3)}{x+4} = 0$
–9(x + 3) = 0
x = –3 ∈ [–3,5; 0] – подходит.
$y(-3) = 9 \ln(-3+4) - 9(-3) = 9 \ln 1 + 27 = 0+27 = 27 > y(-3,5)$
Ответ: y(–3) = 27

2) $y = 4 \ln(x+6) - 4x + 3$ на отрезке [–5,5; 0]
Тут даже преобразовывать не надо, всё уже готово.
Значения на концах отрезка:
$y(-5,5) = 4 \ln(-5,5+6) - 4(-5,5) + 3 ≈ -2,77+25 = 22,23$
$y(0) = 4 \ln(0+6) - 4 \cdot 0 + 3 = 4 \ln 6 + 3 ≈ 7,17 + 3 = 10,17< y(-5,5)$
Берем производную и приравниваем к 0.
Дальше всё тоже самое, я не буду это переписывать.

Ответ: y(–5) = 23

3) $y = 7x - \ln (7x) + 3$ на отрезке $[\frac{1}{14}; \frac{5}{14}]$
$y = 7x - \ln 7 - \ln x + 3$
Значения на концах отрезка:
$y(\frac{1}{14}) = \frac{7}{14} - \ln (\frac{7}{14}) + 3 = 0,5 - \ln(0,5)+3 ≈ 4,2$
$y(\frac{5}{14}) = \frac{35}{14} - \ln (\frac{35}{14}) + 3 = 2,5 - \ln(2,5)+3 ≈ 4,58 > y(\frac{1}{14})$
Берем производную и приравниваем к 0.
Дальше всё тоже самое, я не буду это переписывать.

Ответ: y(1/7) = 4

4) $y = (20-x) \cdot e^{21-x}$ на отрезке [18; 33]
Значения на концах отрезка:
$y(18) = (20-18) \cdot e^{21-18} = 2e^3 ≈ 40,17$
$y(33) = (20-33) \cdot e^{21-33} = -13e^(-12) ≈ -8 \cdot 10^{-5} < y(18)$
Берем производную и приравниваем к 0.
Вот здесь другой вид функции, решу целиком:
$y' = (-1) \cdot e^{21-x} + (20-x) \cdot e^{21-x}(-1) = e^{21-x}(-1-20+x) = 0$
–21 + x = 0
x = 21 ∈ [18; 33] – подходит.
$y(21) = (20-21) \cdot e^{21-21} = -1 \cdot e^{0} = -1 < y(33)$

Ответ: y(21) = –1

5) $y = (x-4) \cdot e^{5-x}$ на отрезке [0,5; 13]
Значения на концах отрезка:
$y(0,5) = (0,5-4) \cdot e^{5-0,5} = -3,5e^{4,5} ≈ -315$
$y(13) = (13-4) \cdot e^{5-13} = 9e^{-8} ≈ 0,003 > y(0,5)$
Берем производную и приравниваем к 0.
Дальше всё тоже самое, я не буду это переписывать.

Ответ: y(5) = 1

6) $y = (3x^2+42x-42) \cdot e^{x+48}$ на отрезке [–57; –7]
Значения на концах отрезка:
$y(-57) = (3(-57)^2+42(-57)-42) \cdot e^{-57+48} = 9477e^{-9} ≈ 1,17$
$y(-7) = (3(-7)^2+42(-7)-42) \cdot e^{-7+48} = -189e^{41} < 0 < y(-57)$
Берем производную и приравниваем к 0.
$y' = (6x+42) \cdot e^{x+48} + (3x^2+42x-42) \cdot e^{x+48} =$
$= e^{x+48}(6x+42+3x^2+42x-42) = e^{x+48}(3x^2+48x) = 0$
3x² + 48x = 0
3x(x + 16) = 0
x1 = 0 ∉ [–57; –7] – не подходит.
x2 = –16 ∈ [–57; –7] – подходит.
$y(-16) = (3(-16)^2+42(-16)-42) \cdot e^{-16+48} = 54e^{32} > y(-57)$

Ответ: y(–16) = 54e³²

7) $y = (x+16)^2 \cdot e^{-x-14}$ на отрезке [–15; –13]
Значения на концах отрезка:
$y(-15) = (-15+16)^2 \cdot e^{15-14} = 1^2e^{1} = e ≈ 2,718$
$y(-13) = (-13+16)^2 \cdot e^{13-14} = 9e^{-1} ≈ 3,31 > y(-15)$
Берем производную и приравниваем к 0.
$y' = 2(x+16) \cdot e^{-x-14} + (x^2+32x+256) \cdot e^{-x-14}(-1) =$
$= e^{-x-14}(2x+32-x^2-32x-256) = e^{-x-14}(-x^2-30x-224) = 0$
–x² – 30x – 224 = 0
Меняем знаки:
x² + 30x + 224 = 0
(x + 16)(x + 14) = 0
x1 = –16 ∉ [–15; –13] – не подходит.
x2 = –14 ∈ [–15; –13] – подходит.
$y(-14) = (-14+16)^2 \cdot e^{14-14} = 4e^{0} = 4 > y(-13)$

Ответ: y(–14) = 4