Задача 79210 Решить систему методом Гаусса, матричным...

67929e37339c2b5e130cfb51

23 января 2025 г. в 08:00

Решить систему методом Гаусса, матричным способом и
используя правило Крамера.
3x – 3 y + 2z = 2
4x – 5 y + 2z = 1
5x – 6y + 4z = 3

626fab9a354ab65fb2f43abb

23 января 2025 г. в 08:55

★

{ 3x – 3y + 2z = 2
{ 4x – 5y + 2z = 1
{ 5x – 6y + 4z = 3

Метод Гаусса
[m]\begin{pmatrix}
3 & -3 & 2 & | & 2 \\
4 & -5 & 2 & | & 1 \\
5 & -6 & 4 & | & 3 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на 4, 2 строку на –3 и складываем.
Умножаем 1 строку на 5, 3 строку на –3 и складываем:
[m]\begin{pmatrix}
3 & -3 & 2 & | & 2 \\
0 & 3 & 2 & | & 5 \\
0 & 3 & -2 & | & 1 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 3 строку на –1 и складываем со 2 строкой:
[m]\begin{pmatrix}
3 & -3 & 2 & | & 2 \\
0 & 3 & 2 & | & 5 \\
0 & 0 & 4 & | & 4 \\
\end{pmatrix}[/m]
Записываем систему с новыми коэффициентами:
{ 3x – 3y + 2z = 2
{ 0x + 3y + 2z = 5
{ 0x + 0y + 4z = 4
Отсюда z = 4/4 = 1, подставляем во 2 уравнение:
{ 3x – 3y + 2z = 2
{ 0x + 3y + 2 = 5
{ z = 1
Отсюда y = (5 – 2)/3 = 1, подставляем в 1 уравнение:
{ 3x – 3 + 2 = 2
{ y = 1
{ z = 1
Отсюда x = 1
Ответ: (1; 1; 1)

Метод Крамера.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
3 & -3 & 2 \\
4 & -5 & 2 \\
5 & -6 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3(–5)·4 + (–3)·2·5 + 2·4(–6) – 2(–5)·5 – 3·2(–6) – (–3)·4·4 =
= –60 – 30 – 48 + 50 + 36 + 48 = –90 + 86 = –4
[m]\Delta(x) = \begin{vmatrix}
2 & -3 & 2 \\
1 & -5 & 2 \\
3 & -6 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 2(–5)·4 + (–3)·2·3 + 2·1(–6) – 2(–5)·3 – 2·2(–6) – (–3)·1·4 =
= –40 – 18 – 12 + 30 + 24 + 12 = –58 + 54 = –4
[m]\Delta(y) = \begin{vmatrix}
3 & 2 & 2 \\
4 & 1 & 2 \\
5 & 3 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3·1·4 + 2·2·5 + 2·4·3 – 2·1·5 – 3·2·3 – 2·4·4 =
= 12 + 20 + 24 – 10 – 18 – 32 = 56 – 60 = –4
[m]\Delta(z) = \begin{vmatrix}
3 & -3 & 2 \\
4 & -5 & 1 \\
5 & -6 & 3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3(–5)·3 + (–3)·1·5 + 2·4(–6) – 2(–5)·5 – 3·1(–6) – (–3)·3·4 =
= –45 – 15 – 48 + 50 + 18 + 36 = –108 + 104 = –4
Находим переменные:
[m]\large x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1[/m]
[m]\large x = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1[/m]
[m]\large x = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1[/m]
Ответ: (1; 1; 1)

Матричный способ слишком длинный и трудный.