Задача 79210 Решить систему методом Гаусса, матричным...

67929e37339c2b5e130cfb51

1/23/2025 8:00:05 PM

Решить систему методом Гаусса, матричным способом и
используя правило Крамера.
3x - 3 y + 2z = 2
4x - 5 y + 2z = 1
5x - 6y + 4z = 3

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/23/2025 8:55:36 PM

★

{ 3x - 3y + 2z = 2
{ 4x - 5y + 2z = 1
{ 5x - 6y + 4z = 3

Метод Гаусса
[m]\begin{pmatrix}
3 & -3 & 2 & | & 2 \\
4 & -5 & 2 & | & 1 \\
5 & -6 & 4 & | & 3 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 1 строку на 4, 2 строку на -3 и складываем.
Умножаем 1 строку на 5, 3 строку на -3 и складываем:
[m]\begin{pmatrix}
3 & -3 & 2 & | & 2 \\
0 & 3 & 2 & | & 5 \\
0 & 3 & -2 & | & 1 \\
\end{pmatrix}[/m]
Умножаем 3 строку на -1 и складываем со 2 строкой:
[m]\begin{pmatrix}
3 & -3 & 2 & | & 2 \\
0 & 3 & 2 & | & 5 \\
0 & 0 & 4 & | & 4 \\
\end{pmatrix}[/m]
Записываем систему с новыми коэффициентами:
{ 3x - 3y + 2z = 2
{ 0x + 3y + 2z = 5
{ 0x + 0y + 4z = 4
Отсюда z = 4/4 = 1, подставляем во 2 уравнение:
{ 3x - 3y + 2z = 2
{ 0x + 3y + 2 = 5
{ z = 1
Отсюда y = (5 - 2)/3 = 1, подставляем в 1 уравнение:
{ 3x - 3 + 2 = 2
{ y = 1
{ z = 1
Отсюда x = 1
Ответ: (1; 1; 1)

Метод Крамера.
[m]\Delta = \begin{vmatrix}
3 & -3 & 2 \\
4 & -5 & 2 \\
5 & -6 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3(-5)*4 + (-3)*2*5 + 2*4(-6) - 2(-5)*5 - 3*2(-6) - (-3)*4*4 =
= -60 - 30 - 48 + 50 + 36 + 48 = -90 + 86 = -4
[m]\Delta(x) = \begin{vmatrix}
2 & -3 & 2 \\
1 & -5 & 2 \\
3 & -6 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 2(-5)*4 + (-3)*2*3 + 2*1(-6) - 2(-5)*3 - 2*2(-6) - (-3)*1*4 =
= -40 - 18 - 12 + 30 + 24 + 12 = -58 + 54 = -4
[m]\Delta(y) = \begin{vmatrix}
3 & 2 & 2 \\
4 & 1 & 2 \\
5 & 3 & 4 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3*1*4 + 2*2*5 + 2*4*3 - 2*1*5 - 3*2*3 - 2*4*4 =
= 12 + 20 + 24 - 10 - 18 - 32 = 56 - 60 = -4
[m]\Delta(z) = \begin{vmatrix}
3 & -3 & 2 \\
4 & -5 & 1 \\
5 & -6 & 3 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3(-5)*3 + (-3)*1*5 + 2*4(-6) - 2(-5)*5 - 3*1(-6) - (-3)*3*4 =
= -45 - 15 - 48 + 50 + 18 + 36 = -108 + 104 = -4
Находим переменные:
[m]\large x = \frac{\Delta(x)}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1[/m]
[m]\large x = \frac{\Delta(y)}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1[/m]
[m]\large x = \frac{\Delta(z)}{\Delta} = \frac{-4}{-4} = 1[/m]
Ответ: (1; 1; 1)

Матричный способ слишком длинный и трудный.