Задача 79206 Нужно решить задачу а и б ...
Условие
Решение
а) Функция задана неявно.
[m]e^{x+y} - \sin \frac{y}{x} + 5 = 0[/m]
Берем производную, как от сложной функции, но x' = 1, а y' = y'
[m]e^{x+y} \cdot (1 + y') - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{xy' - y \cdot 1}{x^2} = 0[/m]
Раскрываем скобки:
[m]e^{x+y} + e^{x+y} \cdot y' - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{y'}{x} + \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x^2} = 0[/m]
Выделяем y':
[m]e^{x+y} \cdot y' - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{y'}{x} + e^{x+y} + \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x^2} = 0[/m]
Выносим y' за скобки:
[m]y' \cdot (e^{x+y} - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}) = -e^{x+y} - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x^2}[/m]
Находим y':
[m]y' = (-e^{x+y} - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{y}{x^2}) : (e^{x+y} - \cos \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x})[/m]
б) Сложная функция:
[m]y = \ln \sqrt[4]{\frac{2x}{3-4x^2}}[/m]
Сначала немного упростим функцию:
[m]y = \frac{1}{4} \cdot \ln \frac{2x}{3-4x^2} = \frac{1}{4} (\ln (2x) - \ln (3-4x^2)) = \frac{1}{4}(\ln 2 + \ln x - \ln (3-4x^2))[/m]
Получилась простая функция, берем производную от нее:
[m]y' = \frac{1}{4} \cdot (0 + \frac{1}{x} - \frac{-8x}{3-4x^2}) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{8x}{3-4x^2})[/m]