Задача 79201 ...

6790ecdb339c2b5e130cfa51

22 января 2025 г. в 01:06

(2x²–5x+2)/log₁₁(x+2) ≤ 0

Удачник66

22 января 2025 г. в 06:21

★

[m]\large \frac{2x^2 - 5x + 2}{\log_{11} (x + 2)} ≤ 0[/m]
Область определения для дроби и для логарифма:
{ x + 2 > 0
{ log₁₁ (x + 2) ≠ 0
Решаем:
{ x > –2
{ x + 2 ≠ 1
Получаем:
x ∈ (–2; –1) U (–1; +oo)

Числитель раскладываем на скобки:
2x² – 5x + 2 = (x – 2)(2x – 1)
При x ∈ (–2; 1/2] U [2; +oo) числитель больше или равен 0.
При x ∈ [1/2; 2] числитель меньше или равен 0.
Оба значения x1 = 1/2; x2 = 2 входят в область определения.

Знаменатель меньше 0:
[m]\log_{11} (x + 2) < 0[/m]
Так как 11 > 1, то:
x + 2 < 1
x < –1
С учетом области определения:
x ∈ (–2; –1)
При этих x числитель больше 0, значит, дробь меньше 0. Подходит.
x1 ∈ (–2; –1)

Знаменатель больше 0:
[m]\log_{11} (x + 2) > 0[/m]
Так как 11 > 1, то:
x + 2 > 1
x > –1
x ∈ (–1; +oo)
При x ∈ [1/2; 2] ⊆ (–1; +oo) числитель меньше или равен 0.
Значит, дробь меньше или равна 0. Подходит.
x2 ∈ [1/2; 2]

При x ∈ (–1; 1/2) U (2; +oo) ⊆ (–1; +oo) числитель больше 0.
Значит, дробь больше 0. Не подходит.

Ответ: x ∈ (–2; –1) U [1/2; 2]