Задача 79200 провести полное исследование функции...

yui

22 января 2025 г. в 10:43

провести полное исследование функции и
построить график: y=x/(x–1)²

Удачник66

22 января 2025 г. в 01:17

★

[m]\large y(x) = \frac{x}{(x-1)^2}[/m]
План исследования функции:
1. Найти область определения. Выделить особые точки (точки разрыва).
x ≠ 1
x ∈ (–oo; 1) U (1; +oo)

2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.
Вертикальная асимптота при x = 1

3. Найти точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: x = 0
y(0) = 0
С осью Ox: y = 0
y(0) = 0
График проходит через начало координат.

4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.
[m]\large y(-x) = \frac{-x}{(-x-1)^2} = -\frac{x}{(x+1)^2}[/m]
Не четная и не нечетная. Функция общего вида.

5. Определить, является ли функция периодической или нет.
Не периодическая.

6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности.
Точки экстремума – это точки, в которых y'(x) = 0
[m]y'(x) = \frac{1(x-1)^2 - x \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(x-1) - 2x}{(x-1)^3} = \frac{-x-1}{(x-1)^3} = 0[/m]
–x – 1 = 0
x = –1
При x ∈ (–oo; –1) будет y'(x) < 0, функция убывает.
При x ∈ (–1; 1) будет y'(x) > 0, функция возрастает.
При x ∈ (1; +oo) будет y'(x) < 0, функция убывает.
Точка экстремума x = –1, это точка минимума.

7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости–вогнутости.
Точки перегиба – это точки, в которых y''(x) = 0
[m]y''(x) = \frac{-1(x-1)^3 - (-x-1) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6} = \frac{-1(x-1) - 3(-x-1)}{(x-1)^4}=\frac{-x+1 + 3x+3}{(x-1)^4} = \frac{2x+4}{(x-1)^4}= 0[/m]
2x + 4 = 0
x = –2
При x ∈ (–oo; –2) будет y''(x) < 0, график выпуклый вверх (выпуклый)
При x ∈ (–2; 1) будет y''(x) > 0, график выпуклый вниз (вогнутый)
При x ∈ (1; +oo) будет y''(x) > 0, график выпуклый вниз (вогнутый)
Точка перегиба x = –2

8. Найти наклонные асимптоты. Исследовать поведение на бесконечности.
Уравнение наклонных асимптот: f(x) = kx + b
[m]\large k = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{(x-1)^2} = 0[/m]
[m]\large b = \lim \limits_{x \to \infty} y(x) - kx = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{(x-1)^2} = 0[/m]
Горизонтальная асимптота f(x) = 0, то есть ось Ox.

9. Выбрать дополнительные точки и вычислить их координаты.
y(–1) = –1/(–1–1)² = –1/(–2)² = –1/4 – точка минимума.
y(–2) = –2/(–2–1)² = –2/(–3)² = –2/9 – точка перегиба.

10. Построить график и асимптоты.
График на рисунке. Обе асимптоты нарисованы зеленым.