Задача 79199 ...

MEG4B4N

22 января 2025 г. в 02:23

1) Исследовать на сходимость следующие ряды.
∑∞ₙ₌₁ 2n+1/(n+1)²×(n+2)²

2) Найти область сходимости ряда с общим членом uₙ
uₙ=3ⁿ×(x–3)ⁿ/n

Удачник66

22 января 2025 г. в 12:30

★

1) Непонятно, как выглядит общий член ряда:
$\large a(n) = 2n + \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2}$
ИЛИ
$\large a(n) = \frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2}$

В 1 случае будет
$\large \lim \limits_{n \to \infty} 2n + \frac{1}{(n+1)^2(n+2)^2} = 2 \cdot \infty + \frac{1}{\infty} = \infty$
И ряд расходится.
Во 2 случае будет
$\large \lim \limits_{n \to \infty} \frac{2n+1}{(n+1)^2(n+2)^2} = \frac{\infty}{\infty^2 \cdot \infty^2} = 0$
И ряд сходится, потому что в знаменателе oo более высокого порядка.

2) $\large u(n) = \frac{3^{n} \cdot (x-3)^{n}}{n}$
По признаку Даламбера:
$\large \lim \limits_{n \to \infty} \frac{u(n+1)}{n(n)} = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} \cdot (x-3)^{n+1}}{n+1} : \frac{3^{n} \cdot (x-3)^{n}}{n} =$
$\large = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{3^{n}} \cdot \frac{(x-3)^{n+1}}{(x-3)^{n}} \cdot \frac{n+1}{n} = 3(x - 3) \cdot 1 = 3(x - 3)$
По признаку Даламбера, если этот предел меньше 1, то ряд сходится.
3(x – 3) < 1
x – 3 < 1/3
x < 3 1/3
x < 10/3
x ∈ (–10/3; 10/3)