Задача 79193 постройте сечение куба abcda1b1c1d1...

Пос

18 января 2025 г. в 04:15

постройте сечение куба abcda1b1c1d1 плоскостью проходящей через середины ребер ab и bc и точку p делящую ребро DD' в отношении 2:5. Найдите площадь этого сечения если ребро Куба равно 1.

Удачник66

19 января 2025 г. в 01:38

★

Попробую решить.
Смотрите Рисунки.
На Рис. 1 изображен куб с сечением. Сечение – 5–угольник MNKPL.
Главное свойство любого сечения – на параллельных гранях тела оно дает параллельные линии.
KP || ML, NK || LP
По условию DP : PD1 = 2 : 5. Это значит:
|DP| = 2/7·|DD1| = 2/7, так как |DD1| = |AB| = |BC| = 1
|BM| = |BN| = 1/2, так как M и N – середины сторон AB и BC.
Обозначим |AL| = |CK| = x. Так как KP || ML, то точки K и L отсекают одинаковые отрезки на ребрах CC1 и AA1 соответственно.
То есть точки K и L подняты на одинаковое расстояние от точек N и M.
А точка P поднята еще на такое же расстояние, то есть 2x.
2x = 2/7
x = |AL| = |CK| = 1/7
Длины отрезков:
|MN| = √|BM|² + |BN|² = √1/4 + 1/4 = √1/2 = √2/2
|ML| = |NK| = √|NC|² + |CK|² = √1/4 + 1/49 = √53/49
Добавим точку Q на расстоянии |DQ| = |DP|/2 = 1/7
|LP| = |KP| = √|KQ|² + |PQ|² = √1 + 1/49 = √50/49
В сечении проведем диагональ KL.
|KL| = |AC| = √2

На Рис. 2 изображено само сечение. Найдем его площадь.
Сечение разбивается на равнобедренный треугольник KLP
и равнобедренную трапецию MNKL.
Проведем дополнительные линии: NN1, MM1, OP
|KO1| = |KL|/2 = √2/2 = √1/2
|M1N1| = |MN| = √2/2 = √1/2
$|KN1| = |M1L| = \frac{|KL| - |M1N1|}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{1}{8}}$
Высота треугольника KLP:
$|PO1| = \sqrt{|KP|^2 - |KO1|^2} = \sqrt{\frac{50}{49} - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{51}{98}} = \frac{\sqrt{102}}{14}$
Высота трапеции MNKL:
$|NN1| = \sqrt{|NK|^2 - |KN1|^2} = \sqrt{\frac{53}{49} - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{375}{49 \cdot 4 \cdot 2}} = \frac{\sqrt{750}}{7 \cdot 4} = \frac{\sqrt{750}}{28}$

Площади:
Площадь треугольника KLP:
$S(KLP) = \frac{|KL| \cdot |PO1|}{2} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{102}}{14}= \frac{\sqrt{204}}{28}$
Площадь трапеции MNKL:
$S(MNKL) = \frac{(|KL| + |MN|)\cdot |NN1|}{2} = \frac{1}{2} \cdot (\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{750}}{28}=$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{750}}{28}= \frac{3\sqrt{1500}}{28 \cdot 4} = \frac{30\sqrt{15}}{112} = \frac{15\sqrt{15}}{56}$
Площадь сечения равна сумме этих площадей:
$S = S(KLP) + S(MNKL) = \frac{\sqrt{204}}{28} + \frac{15\sqrt{15}}{56} = \frac{2\sqrt{204}}{56} + \frac{15\sqrt{15}}{56} = \frac{4\sqrt{51} + 15\sqrt{15}}{56}$