Задача 79192 Найти координаты проекции точки...

678b3dd98d98915ef0346c3c

1/18/2025 5:37:20 AM

Найти координаты проекции точки А=(10,-8,-4) на прямую, проходящую через точки В=(3,-3,-1) и С=(1,-1,0)

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/19/2025 4:12:17 PM

★

A(10; -8; -4); B(3; -3; -1); C(1; -1; 0)
Уравнение прямой (BC) в пространстве через две точки:
[m](BC): \frac{x - 3}{-1-3} = \frac{y + 3}{1+3} = \frac{z+1}{0+1}[/m]
[m](BC): \frac{x - 3}{-4} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z+1}{1}[/m]
Проекция точки A на прямую (BC) - это точка пересечения прямой (BC) с перпендикуляром, проходящим через точку A.

Запишем (BC) в параметрической форме:
(BC):
{ x = -4t + 3
{ y = 4t - 3
{ z = t - 1

В точке пересечения D(x0; y0; z0) система примет вид:
{ x0 = -4t + 3
{ y0 = 4t - 3
{ z0 = t - 1
Точка D имеет координаты:
[b]D(-4t + 3; 4t - 3; t - 1)[/b]
Строим уравнение прямой AD по двум точкам:
[m](AD): \frac{x - 10}{-4t+3-10} = \frac{y + 8}{4t-3+8} = \frac{z+4}{t-1+4}[/m]
[m](AD): \frac{x - 10}{-4t-7} = \frac{y + 8}{4t+5} = \frac{z+4}{t+3}[/m]

Коэффициенты двух перпендикулярных прямых в пространстве связаны соотношением:
m1*m2 + n1*n2 + p1*p2 = 0
Где (m, n, p) - это знаменатели в уравнении прямой.
(-4t - 7)*(-4) + (4t + 5)*4 + (t + 3)*1 = 0
16t + 28 + 16t + 20 + t + 3 = 0
33t + 51 = 0
[b]t = -51/33 = -17/11[/b]
Посчитаем на всякий случай коэффициенты прямой (AD):
m1 = -4t - 7 = (-4)(-17/11) - 7 = 68/11 - 7 = (68-77)/11 = -9/11
n1 = 4t + 5 = 4(-17/11) + 5 = -68/11 + 5 = (-68+55)/11 = -13/11
p1 = t + 3 = -17/11 + 3 = (-17+33)/11 = 16/11

Подставляем t = -17/11 в координаты точки D:
{ x0 = -4t + 3 = (-4)(-17/11) + 3 = 68/11 + 3 = 101/11
{ y0 = 4t - 3 = 4(-17/11) - 3 = -68/11 - 3 = -101/11
{ z0 = t - 1 = -17/11 - 1 = -28/11
Это и есть координаты проекции точки A на прямую BC.

Ответ: D(101/11; -101/11; -28/11)