Задача 79191 Первая прямая проходит через точки А =...

sk1pe

18 января 2025 г. в 12:48

Первая прямая проходит через точки А = (–1, –7, –4) и B = (–1, –8, –4). Вторая прямая проходит через точки C = (–1, –4, –8) и D = (–1, –4, –9). Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Удачник66

18 января 2025 г. в 10:38

★

Уравнение прямой AB по двум точкам:
$(AB): \frac{x+1}{-1+1} = \frac{y+8}{-7+8} = \frac{z+4}{-4+4}$
$(AB): \frac{x+1}{0} = \frac{y+8}{1} = \frac{z+4}{0}$
Заметим, что нули в знаменателях здесь законны.
Они означают, что прямая перпендикулярна осям Ox и Oz.
То есть она параллельна оси Oy.
x всегда равен –1, z всегда равен –4

Уравнение прямой CD по двум точкам:
$(CD): \frac{x+1}{-1+1} = \frac{y+4}{-4+4} = \frac{z+9}{-8+9}$
$(CD): \frac{x+1}{0} = \frac{y+4}{0} = \frac{z+9}{1}$
Эта прямая перпендикулярна осям Ox и Oy.
То есть она параллельна оси Oz.
x всегда равен –1, y всегда равен –4

Таким образом, мы выяснили, что прямые перпендикулярны друг другу.
Запишем их в параметрическом виде с разными параметрами:
(AB):
{ x = –1
{ y = t – 8
{ z = –4

(CD):
{ x = –1
{ y = –4
{ z = s – 9

В точка пересечения M0(x0; y0; z0) обе системы должны выполняться, отсюда можно найти параметры:
{ x0 = –1 = –1
{ y0 = t – 8 = –4
{ z0 = –4 = s – 9
Отсюда t = 4; s = 5
Подставляем найденный параметр t в уравнения для (AB):
{ x = –1
{ y = 4 – 8 = –4
{ z = –4

Ответ: M0(–1; –4; –4)