Задача 79191 Первая прямая проходит через точки А =...

678aa1758d98915ef0346c0d

1/18/2025 12:48:34 AM

Первая прямая проходит через точки А = (-1, -7, -4) и B = (-1, -8, -4). Вторая прямая проходит через точки C = (-1, -4, -8) и D = (-1, -4, -9). Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

626fab9a354ab65fb2f43abb

1/18/2025 10:38:04 PM

★

Уравнение прямой AB по двум точкам:
[m](AB): \frac{x+1}{-1+1} = \frac{y+8}{-7+8} = \frac{z+4}{-4+4}[/m]
[m](AB): \frac{x+1}{0} = \frac{y+8}{1} = \frac{z+4}{0}[/m]
Заметим, что нули в знаменателях здесь законны.
Они означают, что прямая перпендикулярна осям Ox и Oz.
То есть она параллельна оси Oy.
x всегда равен -1, z всегда равен -4

Уравнение прямой CD по двум точкам:
[m](CD): \frac{x+1}{-1+1} = \frac{y+4}{-4+4} = \frac{z+9}{-8+9}[/m]
[m](CD): \frac{x+1}{0} = \frac{y+4}{0} = \frac{z+9}{1}[/m]
Эта прямая перпендикулярна осям Ox и Oy.
То есть она параллельна оси Oz.
x всегда равен -1, y всегда равен -4

Таким образом, мы выяснили, что прямые перпендикулярны друг другу.
Запишем их в параметрическом виде с разными параметрами:
(AB):
{ x = -1
{ y = t - 8
{ z = -4

(CD):
{ x = -1
{ y = -4
{ z = s - 9

В точка пересечения M0(x0; y0; z0) обе системы должны выполняться, отсюда можно найти параметры:
{ x0 = -1 = -1
{ y0 = t - 8 = -4
{ z0 = -4 = s - 9
Отсюда t = 4; s = 5
Подставляем найденный параметр t в уравнения для (AB):
{ x = -1
{ y = 4 - 8 = -4
{ z = -4

Ответ: M0(-1; -4; -4)