Задача 79185 ...
Условие
1) записать его в алгебраической, тригонометрической и показательной
формах;
2) найти все корни уравнения ω3
+z=0
z=4/(i-√3)
без использования tg
Решение
1) В алгебраической форме:
[b]z = sqrt(3) + i[/b]
В тригонометрической форме:
z = 2*(sqrt(3)/2 + i*1/2)
cos φ = sqrt(3)/2; sin φ = 1/2; отсюда φ = π/6
[b]z = 2(cos π/6 + i*sin π/6)[/b]
В показательной форме:
[b]z = 2*e^(i*π/6)[/b]
2) Найти все корни уравнения:
w^3 + z = 0
w^3 = -z
w^3 = -sqrt(3) - i
w^3 = 2(-sqrt(3)/2 - i*1/2)
cos φ = -sqrt(3)/2; sin φ = -1/2; отсюда φ = π + π/6 = 7π/6
w^3 = 2(cos 7π/6 + i*sin 7π/6)
[m]w = \sqrt[3]{2(\cos \frac{7\pi}{6} + i \cdot \sin \frac{7\pi}{6})}[/m]
По формуле Муавра для кубических корней получаем:
[m]w = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot k}{3})[/m]
Эти решения принимают 3 значения при k = 0, 1, 2:
[m]w1 = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 0}{3}) = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{7\pi}{18}) [/m]
[m]w2 = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 1}{3}) = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{19\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{19\pi}{18})[/m]
[m]w3 = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 2}{3}) = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{31\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{31\pi}{18})[/m]