Задача 79185 ...

678941c28d98915ef0346b66

16 января 2025 г. в 05:31

Дано комплексное число Z. Требуется:
1) записать его в алгебраической, тригонометрической и показательной
формах;
2) найти все корни уравнения ω3
+z=0
z=4/(i–√3)
без использования tg

Удачник66

16 января 2025 г. в 05:57

★

z = 4/(i – √3) = 4(√3 + i)/(3 + 1) = √3 + i
1) В алгебраической форме:
z = √3 + i
В тригонометрической форме:
z = 2·(√3/2 + i·1/2)
cos φ = √3/2; sin φ = 1/2; отсюда φ = π/6
z = 2(cos π/6 + i·sin π/6)
В показательной форме:
z = 2·e^i·π/6

2) Найти все корни уравнения:
w³ + z = 0
w³ = –z
w³ = –√3 – i
w³ = 2(–√3/2 – i·1/2)
cos φ = –√3/2; sin φ = –1/2; отсюда φ = π + π/6 = 7π/6
w³ = 2(cos 7π/6 + i·sin 7π/6)
[m]w = \sqrt[3]{2(\cos \frac{7\pi}{6} + i \cdot \sin \frac{7\pi}{6})}[/m]
По формуле Муавра для кубических корней получаем:
[m]w = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot k}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot k}{3})[/m]
Эти решения принимают 3 значения при k = 0, 1, 2:
[m]w1 = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 0}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 0}{3}) = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{7\pi}{18}) [/m]
[m]w2 = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 1}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 1}{3}) = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{19\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{19\pi}{18})[/m]
[m]w3 = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 2}{3} + i \cdot \sin \frac{7\pi/6 + 2\pi \cdot 2}{3}) = \sqrt[3]{2} \cdot (\cos \frac{31\pi}{18} + i \cdot \sin \frac{31\pi}{18})[/m]